Sejam X1, ldots, Xn variáveis aleatórias independentes com E Xj=muj e Var Xj=sigmaj^2. Considere combinações lineares Y=sumj=1^n pj Xj, onde pj >= 0 e sumj=1^n pj=1. Prove que Var Y é minimizada pela escotha de
pj=sigmaj^-2sumi=1^n sigmai^-2, j=1, ldots, n

Passo 1

O enunciado dá variáveis independentes Y=sumj=1^npjXj, com e , e define
com e .
Queremos escolher os pesos que minimizam .

Passo 2

Como as Var(Y) =Var!l(sumj=1^npjXjr) =sumj=1^npj^2,sigmaj^2 são independentes,
minp1,dots,pn;sumj=1^nsigmaj^2pj^2 sujeito asumj=1^npj=1,;pj>=0
Então nosso problema é

Passo 3

Usamos multiplicadores de Lagrange para incorporar a restrição L(p1,dots,pn,lambda) =sumj=1^nsigmaj^2pj^2 -lambdal(sumj=1^npj-1r) . Definimos

Passo 4

Impondo as condições de otimalidade, para cada partialLpartial pk =2,sigmak^2pk-lambda=0 Longrightarrow pk=lambda2,sigmak^2 :
sumk=1^nlambda2,sigmak^2=1 Longrightarrow lambda=2l(sumi=1^nsigmai^-2r)^-1
Como pj =lambda2,sigmaj^2 =1/sigmaj^2sumi=1^n1/sigmai^2 =sigmaj^-2sumi=1^nsigmai^-2 , obtemos
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Passo 5

Para ver que é mínimo, note que a função objetivo é convexa em (matriz Hessiana diagonal com entradas ), e a região de restrição é afim convexa. Assim, a solução encontrada é o mínimo global.

Resposta

pj=sigmaj^-2sumi=1^nsigmai^-2, j=1,dots,n

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