Sejam
variáveis aleatórias independentes com
e Var
. Considere combinações lineares
, onde
e
. Prove que Var
é minimizada pela escotha de
Passo 1
O enunciado dá variáveis independentes
com
e
, e define
com
e
.
Queremos escolher os pesos que minimizam
.
Queremos escolher os pesos
Passo 2
Como as
são independentes,
Então nosso problema é
Passo 3
Usamos multiplicadores de Lagrange para incorporar a restrição
. Definimos
Passo 4
Impondo as condições de otimalidade, para cada
:
Como
, obtemos
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Passo 5
Para ver que é mínimo, note que a função objetivo
é convexa em
(matriz Hessiana diagonal com entradas
), e a região de restrição é afim convexa. Assim, a solução encontrada é o mínimo global.