Sejam X1, ldots, Xn variáveis aleatórias independentes com E Xj=muj e Var Xj=sigmaj^2. Considere combinações lineares Y=sumj=1^n pj Xj, onde pj >= 0 e sumj=1^n pj=1. Prove que Var Y é minimizada pela escotha de
pj=sigmaj^-2sumi=1^n sigmai^-2, j=1, ldots, n

Passo 1

O enunciado dá variáveis independentes X1,dots,Xn com E Xj=muj e VarXj=sigmaj^2, e define
Y=sumj=1^npjXj,
com pj>=0 e sumj=1^npj=1.
Queremos escolher os pesos pj que minimizam Var(Y).

Passo 2

Como as Xj são independentes,
Var(Y) =Var!l(sumj=1^npjXjr) =sumj=1^npj^2,sigmaj^2
Então nosso problema é
minp1,dots,pn;sumj=1^nsigmaj^2pj^2 sujeito asumj=1^npj=1,;pj>=0

Passo 3

Usamos multiplicadores de Lagrange para incorporar a restrição sum pj=1. Definimos
L(p1,dots,pn,lambda) =sumj=1^nsigmaj^2pj^2 -lambdal(sumj=1^npj-1r)

Passo 4

Impondo as condições de otimalidade, para cada k:
partialLpartial pk =2,sigmak^2pk-lambda=0 Longrightarrow pk=lambda2,sigmak^2
Como sumk=1^npk=1, obtemos
sumk=1^nlambda2,sigmak^2=1 Longrightarrow lambda=2l(sumi=1^nsigmai^-2r)^-1
Logo
pj =lambda2,sigmaj^2 =1/sigmaj^2sumi=1^n1/sigmai^2 =sigmaj^-2sumi=1^nsigmai^-2

Passo 5

Para ver que é mínimo, note que a função objetivo sumsigmaj^2pj^2 é convexa em (p1,dots,pn) (matriz Hessiana diagonal com entradas 2sigmaj^2>0), e a região de restrição é afim convexa. Assim, a solução encontrada é o mínimo global.

Resposta

pj=sigmaj^-2sumi=1^nsigmai^-2, j=1,dots,n

Exercícios de Livros Relacionados