Encontrar a função geradora ordinária para se calcular o número de soluções em inteiros não-negativos da equação
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função geradora ordinária que nos permita contar o número de soluções em inteiros não-negativos
da equação
O conteúdo aqui é geração de soluções por meio de funções geradoras: cada variável contribui com um fator que registra o peso do seu coeficiente.
Passo 2
Para cada variável, escrevemos sua função geradora ordinária separadamente, somando sobre todos os valores não-negativos:
– Para , o termo contribui com
no grau, logo
– Para
– Para
, contribui com
, logo
– Para
, contribui com
, logo
– Para
, contribui com
, logo
Passo 3
Como as variáveis são independentes, a função geradora total é o produto dos fatores acima. Isso garante que o coeficiente de
na expansão conte todas as quádruplas
cuja soma
seja exatamente
.