Encontrar a função geradora ordinária para se calcular o número de soluções em inteiros não-negativos da equação 2 x+3 y+4 z+ 5 w=r.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função geradora ordinária que nos permita contar o número de soluções em inteiros não-negativos (x,y,z,w) da equação
2x + 3y + 4z + 5w = r.
O conteúdo aqui é geração de soluções por meio de funções geradoras: cada variável contribui com um fator que registra o peso do seu coeficiente.

Passo 2

Para cada variável, escrevemos sua função geradora ordinária separadamente, somando sobre todos os valores não-negativos:
– Para x, o termo contribui com 2x no grau, logo
\sum_{x=0}^{\infty} t^{2x} = \frac{1}{1 - t^2}.
– Para y, contribui com 3y, logo
\sum_{y=0}^{\infty} t^{3y} = \frac{1}{1 - t^3}.
– Para z, contribui com 4z, logo
\sum_{z=0}^{\infty} t^{4z} = \frac{1}{1 - t^4}.
– Para w, contribui com 5w, logo
\sum_{w=0}^{\infty} t^{5w} = \frac{1}{1 - t^5}.

Passo 3

Como as variáveis são independentes, a função geradora total é o produto dos fatores acima. Isso garante que o coeficiente de t^r na expansão conte todas as quádruplas (x,y,z,w) cuja soma 2x+3y+4z+5w seja exatamente r.

Resposta

G(t) \;=\; \frac{1}{(1 - t^2)\,(1 - t^3)\,(1 - t^4)\,(1 - t^5)}.

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