Encontrar a seqüência gerada pelas funções geradoras ordinárias dadas abaixo:
(a) (x+1)^{4}

Passo 1

O enunciado nos dá a função geradora ordinária
G(x) = (x+1)^4
e pede a sequência (a_n)_{n\ge0} tal que
G(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n\,x^n.
Vamos usar o Teorema Binomial para identificar esses coeficientes.

Passo 2

O Teorema Binomial afirma que, para todo inteiro m\ge0,
(1+x)^m = \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} x^k.
No nosso caso, m=4, logo
(x+1)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^k.

Passo 3

Comparando com a forma
\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^n,
vemos que
a_n = \begin{cases} \displaystyle \binom{4}{n}, & 0 \le n \le 4,\\[6pt] 0, & n > 4. \end{cases}
Em forma de lista, a sequência é
(a_n) = (1,\,4,\,6,\,4,\,1,\,0,\,0,\,\dots).
]

Resposta

a_n = \binom{4}{n} para 0 \le n \le 4, e a_n = 0 para n>4.

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