Encontrar o coeficiente de x^{6} \mathrm{em}(1-x)^{n}, quando n=6 e quando n=-6.

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de x^6 na expansão de (1-x)^n para os casos n=6 e n=-6. O conteúdo-chave é o teorema binomial generalizado, que dá a fórmula dos coeficientes na expansão em série de potências.

Passo 2

Pelo teorema binomial generalizado, vale
(1-x)^n \;=\;\sum_{k=0}^{\infty} \binom{n}{k}(-x)^k.
Logo, o coeficiente de x^k nessa série é
a_k \;=\;\binom{n}{k}\,(-1)^k.

Passo 3

Para n=6 e k=6:
a_6 \;=\;\binom{6}{6}(-1)^6 \;=\;1\cdot1 \;=\;1.

Passo 4

Para n=-6 e k=6, primeiro calculamos
\binom{-6}{6} =\frac{-6\cdot(-7)\cdot(-8)\cdot(-9)\cdot(-10)\cdot(-11)}{6!} =\frac{(-1)^6\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10\cdot11}{720} =\frac{332640}{720} =462.
Multiplicando por (-1)^6=1, obtemos o coeficiente 462.

Resposta

Para n=6: 1.
Para n=-6: 462.

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