Encontrar a seqüência gerada pelas funções geradoras ordinárias dadas abaixo:
(d) 1+\left(1-x^{2}\\\right)^{-1}

Passo 1

O enunciado pede a sequência cuja função geradora ordinária é
A(x)=1+\frac{1}{1-x^{2}}.
O conteúdo aqui é manipulação de séries de potências, usando a expansão da soma geométrica.

Passo 2

Sabemos que para \lvert x\rvert<1 vale
\frac{1}{1 - x^{2}} = \sum_{k=0}^{\infty} x^{2k},
ou seja, geramos todos os termos de ordem par.

Passo 3

Substituindo em A(x):
A(x) =1 + \sum_{k=0}^{\infty} x^{2k} =1 + 1 + \sum_{k=1}^{\infty} x^{2k} =2 + \sum_{k=1}^{\infty} x^{2k}.

Passo 4

Da expansão acima, os coeficientes a_n vêm como:
para n=0 temos a_{0}=2,
para n=2k com k\ge1 temos a_{2k}=1,
e para n ímpar a_{n}=0.

Resposta

A sequência é
a_n=\begin{cases} 2,&n=0,\\\\ 1,&n\text{ par},\,n\ge2,\\\\ 0,&n\text{ ímpar}. \end{cases}í

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