Para A, B e C eventos em ( \Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P} ), mostre que se A é independente de B e de C e se B \cup C=\Omega, então A é independente de B \cap C. Dê um exemplo mostrando que a condição P(B \cup C)=1 é essencial para a conclusão valer.

Passo 1

O enunciado trabalha num espaço de probabilidade (\Omega,\mathcal F,\mathcal P) com eventos A,B,C. Sabemos que
  1. A é independente de B:
P(A\cap B)=P(A)\,P(B),
  1. A é independente de C:
P(A\cap C)=P(A)\,P\text{(C)},
  1. B\cup C=\Omega, logo P(B\cup C)=1.
    Queremos mostrar que então
P\bigl(A\cap(B\cap C)\bigr)=P(A)\,P(B\cap C),
ou seja, A é independente de B\cap C.

Passo 2

Como B\cup C=\Omega temos
A = A\cap\Omega = A\cap(B\cup C).
Pela fórmula de inclusão–exclusão para P(A\cap(B\cup C)),
P(A) = P(A\cap B)+P(A\cap C)-P\bigl(A\cap B\cap C\bigr).
Substituindo as independências de A com B e com C,
P(A)=P(A)P(B)+P(A)P\text{(C)}-P\bigl(A\cap B\cap C\bigr).

Passo 3

Da igualdade acima isolamos P(A\cap B\cap C):
P\bigl(A\cap B\cap C\bigr) = P(A)\bigl(P(B)+P\text{(C)}-1\bigr).
Mas como P(B\cup C)=1, pela inclusão–exclusão em B\cup C tem-se
P(B)+P\text{(C)}-1 = P(B\cap C).
Logo
P\bigl(A\cap B\cap C\bigr) = P(A)\,P(B\cap C),
que é exatamente a independência de A e B\cap C.

Passo 4

Exemplo mostrando que a condição P(B\cup C)=1 é essencial. Seja
\Omega=\{1,2,3,4\},\quad P(\{i\})=\tfrac14\quad(i=1,2,3,4),
e defina
A=\{1,2\},\quad B=\{1,3\},\quad C=\{2,3\}.
Então
P(A)=\tfrac12,\;P(B)=\tfrac12,\;P\text{(C)}=\tfrac12,
P(A\cap B)=P(\{1\})=\tfrac14=P(A)P(B), \quad P(A\cap C)=P(\{2\})=\tfrac14=P(A)P\text{(C)},
ou seja, A é independente de B e de C. Mas
B\cup C=\{1,2,3\},\quad P(B\cup C)=\tfrac34<1,
e
B\cap C=\{3\},\quad P(B\cap C)=\tfrac14,
P\bigl(A\cap(B\cap C)\bigr)=P(\varnothing)=0\neq\tfrac12\cdot\tfrac14=P(A)P(B\cap C).
Portanto, sem P(B\cup C)=1, a conclusão falha.

Resposta

P\bigl(A\cap(B\cap C)\bigr)=P(A)\,P(B\cap C),
ou seja, A é independente de B\cap C sempre que A seja independente de B e de C e B\cup C=\Omega.
O exemplo em \Omega=\{1,2,3,4\} mostra que, se P(B\cup C)<1, pode ocorrer que A seja independente de B e de C mas não de B\cap C.

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