Para
e
eventos em (
), mostre que se
é independente de
e de
e se
, então
é independente de
. Dê um exemplo mostrando que a condição
é essencial para a conclusão valer.
Passo 1
O enunciado trabalha num espaço de probabilidade
com eventos
. Sabemos que
-
é independente de :
-
é independente de :
-
, logo .
Queremos mostrar que então
ou seja,
é independente de
.
Passo 2
Como
temos
Pela fórmula de inclusão–exclusão para
,
Substituindo as independências de
com
e com
,
Passo 3
Da igualdade acima isolamos
:
Mas como
, pela inclusão–exclusão em
tem-se
Logo
que é exatamente a independência de
e
.
Passo 4
Exemplo mostrando que a condição
é essencial. Seja
e defina
Então
ou seja,
é independente de
e de
. Mas
e
Portanto, sem
, a conclusão falha.
Resposta
ou seja,
é independente de
sempre que
seja independente de
e de
e
.
O exemplo em mostra que, se
, pode ocorrer que
seja independente de
e de
mas não de
.
O exemplo em