Um experimento com espaço amostral \Omega é repetido n vezes. Defina n_{A} como o número de ocorrências de um evento A \subset \Omega. Mostre que a função f(A)=n_{A} / n satisfaz os Axiomas de Kolmogorov para probabilidade em \Omega_{p} (conjunto das partes).

Passo 1

O enunciado diz que repetimos um experimento cujo espaço amostral é \Omega por n vezes, e que para cada evento A\subset\Omega contamos n_{A}, o número de vezes que A ocorreu. Definimos
f(A)=\frac{n_{A}}{n}.
Queremos mostrar que f satisfaz os três Axiomas de Kolmogorov para probabilidade em \mathcal{P}(\Omega):
1. \,f(A)\ge0 para todo A\subset\Omega.
2. \,f(\Omega)=1.
3. Para qualquer coleção contável \{A_i\}_{i=1}^\infty de eventos mutuamente disjuntos,
f\Bigl(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\Bigr) =\sum_{i=1}^\infty f(A_i).

Passo 2

Não-negatividade. Como n_{A} é o número de ocorrências de A em n repetições, temos
n_{A}\in\{0,1,2,\dots,n\} \quad\Longrightarrow\quad n_{A}\ge0.
Dividindo por n>0, conclui-se
f(A)=\frac{n_{A}}{n}\ge0.

Passo 3

Normalização. O evento certo \Omega ocorre em toda realização do experimento, então
n_{\Omega}=n.
Logo
f(\Omega) =\frac{n_{\Omega}}{n} =\frac{n}{n} =1.

Passo 4

Aditividade contável. Seja \{A_i\}_{i=1}^\infty uma sequência de eventos tais que A_i\cap A_j=\emptyset sempre que i\neq j. Cada realização do experimento só pode contribuir para o contador de um único A_i. Portanto, o total de ocorrências do evento \bigcup_{i=1}^\infty A_i é a soma das ocorrências isoladas:
n_{\bigcup_{i=1}^\infty A_i} =\sum_{i=1}^\infty n_{A_i}.
Dividindo ambos os lados por n, obtemos
f\bigl(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\bigr) =\frac{n_{\bigcup_{i=1}^\infty A_i}}{n} =\sum_{i=1}^\infty\frac{n_{A_i}}{n} =\sum_{i=1}^\infty f(A_i).

Resposta

A função f(A)=n_{A}/n satisfaz os três Axiomas de Kolmogorov e, portanto, é uma probabilidade em \mathcal{P}(\Omega).

Exercícios de Livros Relacionados