Um experimento com espaço amostral
é repetido
vezes. Defina
como o número de ocorrências de um evento
. Mostre que a função
satisfaz os Axiomas de Kolmogorov para probabilidade em
(conjunto das partes).
Passo 1
O enunciado diz que repetimos um experimento cujo espaço amostral é
por
vezes, e que para cada evento
contamos
, o número de vezes que
ocorreu. Definimos
Queremos mostrar que
satisfaz os três Axiomas de Kolmogorov para probabilidade em
:
.
para todo
.
.
.
. Para qualquer coleção contável
de eventos mutuamente disjuntos,
Passo 2
Não-negatividade. Como
é o número de ocorrências de
em
repetições, temos
Dividindo por
, conclui-se
Passo 3
Normalização. O evento certo
ocorre em toda realização do experimento, então
Logo
Passo 4
Aditividade contável. Seja
uma sequência de eventos tais que
sempre que
. Cada realização do experimento só pode contribuir para o contador de um único
. Portanto, o total de ocorrências do evento
é a soma das ocorrências isoladas:
Dividindo ambos os lados por
, obtemos
Resposta
A função
satisfaz os três Axiomas de Kolmogorov e, portanto, é uma probabilidade em
.