Para um conjunto de 10 pessoas, qual é a probabilidade de 6 fazerèm aniversário num mesmo mês e 4 em um outro mês? (Admita igual probabilidade de nascimento em qualquer mês).

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, em 10 pessoas com aniversário uniformemente distribuído em 12 meses, exatamente 6 fazerem aniversário num mesmo mês e as outras 4 num outro mês distinto. O conteúdo usado é o princípio de contagem (combinações e princípio multiplicativo) e a divisão pelo total de casos igualmente prováveis.

Passo 2

O número total de maneiras de atribuir a cada uma das 10 pessoas um mês de aniversário, com probabilidade uniforme, é
12^{10}.

Passo 3

Para contar os casos favoráveis:
  1. Escolher o mês que terá 6 aniversários: 12 possibilidades.
  2. Escolher o outro mês (distinto) que terá 4 aniversários: 11 possibilidades.
  3. Escolher quais 6 das 10 pessoas fazem aniversário no primeiro mês: \binom{10}{6}.
    As demais 4 pessoas ficam obrigatoriamente no segundo mês.
Logo, o número de casos favoráveis é
N_{\text{fav}} =12 \times 11 \times \binom{10}{6} =12 \times 11 \times 210 =27720.

Passo 4

A probabilidade procurada é
P =\frac{N_{\text{fav}}}{12^{10}} =\frac{12\cdot11\cdot\binom{10}{6}}{12^{10}}.

Resposta

\frac{12\cdot11\cdot\binom{10}{6}}{12^{10}}

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