Nos exercícios de 13 a 24 , desenvolva o teste qui-quadrado para independência indicado fazendo o seguinte:
(a) Identifique a afirmação e determine a hipótese nula e a alternativa.
(b) Determine os graus de liberdade, encontre o valor crítico e identifique a região de rejeição.
(c) Calcule o teste estatístico. Se for conveniente, use tecnologia.
(d) Decida se deve rejeitar ou não a hipótese nula. Depois, interprete a decisão no contexto da afirmação original.
Notas de nossos líderes A tabela de contingência mostra como uma amostra aleatória de calouros universitários classificou os lideres de três tipos de instituições. Com
α=0,05, você pode concluir que as notas são relacionadas à instituição? (Adaptodo de Louis Harris for Northwestern Mutual Life Insurance.)
Instituiçōes
Nota
A
B
C
D
F
Militar
25
46
19
5
3
Religioso
18
44
24
7
5
Mídia / imprensa
5
23
37
21
12

Passo 1

Temos uma tabela de contingência com três tipos de instituição (Militar, Religioso, Mídia/imprensa) e cinco notas (A, B, C, D, F). Queremos testar, ao nível de significância \alpha=0,05, se a classificação por nota é independente do tipo de instituição. Para isso, aplicamos o teste qui-quadrado de independência.

Passo 2

Formulamos as hipóteses como:
H_0\colon\text{a nota é independente do tipo de instituição},éçã
H_1\colon\text{a nota não é independente do tipo de instituição (existe relação)}.ãéçãçã

Passo 3

Calculamos os graus de liberdade:
\text{gl}=(r-1)(c-1)=(3-1)\,(5-1)=2\cdot4=8.
Do quadro de qui-quadrado, o valor crítico para \alpha=0,05 e 8 graus de liberdade é
\chi^2_{0,95;8}\approx15,507.
A região de rejeição é
\chi^2>15,507.

Passo 4

Computamos as frequências esperadas. Cada linha soma 98 observações e o total geral é 294. As somas de coluna são \;48,\;113,\;80,\;33,\;20.
Logo, para qualquer linha e coluna j,
E_{j}=\frac{98\times(\text{soma da coluna }j)}{294}=\frac{\text{soma da coluna }j}{3}.
Isso gera, para cada linha, o vetor de esperados
\bigl(16,\;37{,}667,\;26{,}667,\;11,\;6{,}667\bigr).

Passo 5

Aplicamos a fórmula
\chi^2=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^5\frac{(O_{ij}-E_{j})^2}{E_{j}},
onde O_{ij} são os valores observados. Fazendo as contas linha a linha, obtemos aproximadamente
\chi^2\approx48,49.

Passo 6

Como 48,49>15,507, caímos na região de rejeição de H_0. Portanto, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que a classificação por nota está relacionada ao tipo de instituição.

Resposta

Rejeita-se H_0. Há evidências de que as notas atribuídas dependem do tipo de instituição.

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