Nos exercícios de 13 a 24 , desenvolva o teste qui-quadrado para independência indicado fazendo o seguinte:
(a) Identifique a afirmação e determine a hipótese nula e a alternativa.
(b) Determine os graus de liberdade, encontre o valor crítico e identifique a região de rejeição.
(c) Calcule o teste estatístico. Se for conveniente, use tecnologia.
(d) Decida se deve rejeitar ou não a hipótese nula. Depois, interprete a decisão no contexto da afirmação original.
Conquistas e localização da escola Atingir um nivel básico de habilidade em uma matéria está relacionado à localização da escola? Os resultados de uma amostra aleatória de alunos pela localização da escola e o número de alunos que atingiram niveis básicos de habilidade em três matérias estão demonstrados na tabela de contingência. Com
α=0,01, teste a hipótese de que as variáveis sejam independentes. (Adaptado de USA TODAY.)
Localizaçăo da escola
Matéria
Leitura
Matemática
Ciências
Urbano
43
42
38
Suburbano
63
66
65

Passo 1

O enunciado apresenta um teste qui-quadrado de independência para verificar se o nível básico de habilidade em leitura, matemática e ciências está relacionado à localização da escola (urbano ou suburbano). O que precisaremos: hipóteses do teste, grau de liberdade, valor crítico, cálculo das frequências esperadas e do estatístico \chi^2, decisão e interpretação.

Passo 2

Definimos as hipóteses da forma habitual em teste de independência de uma tabela de contingência:
H_0:\text{ localização da escola e nível básico na matéria são independentes}çãíáéã
H_1:\text{ localização da escola e nível básico na matéria são dependentes}çãíáéã

Passo 3

Calculamos os graus de liberdade e o valor crítico. Como há r=2 linhas e c=3 colunas,
\text{gl}=(r-1)(c-1)=(2-1)(3-1)=2.
Para \alpha=0,01 e 2 gl, o valor crítico é aproximadamente
\chi^2_{0,99}(2)\approx9,21,
logo a região de rejeição é \{\chi^2\ge9,21\}.

Passo 4

Montamos a tabela de observados O_{ij}, calculamos totais de linha, coluna e total geral N=317. As frequências esperadas são
E_{ij}=\frac{(\text{total linha }i)\times(\text{total coluna }j)}{N}.
Em detalhe:
Leitura: total coluna =106, Matemática: 108, Ciências: 103.
Linha Urbano: 123, Suburbano: 194.
Por exemplo,
E_{\text{urbano, leitura}}=\frac{123\cdot106}{317}\approx41,13,
e assim por diante para os 6 pares (i,j). Calculando o estatístico,
\chi^2=\sum_{i,j}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}\approx0,29.

Passo 5

Comparamos \chi^2\approx0,29 com o crítico 9,21. Como 0,29<9,21, não rejeitamos H_0.

Resposta

Não há evidência, ao nível de significância de 1\%, de que a localização da escola e o atingimento do nível básico nas três matérias sejam dependentes; concluímos que são independentes.

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