Nos exercícios de 13 a 24 , desenvolva o teste qui-quadrado para independência indicado fazendo o seguinte:
(a) Identifique a afirmação e determine a hipótese nula e a alternativa.
(b) Determine os graus de liberdade, encontre o valor crítico e identifique a região de rejeição.
(c) Calcule o teste estatístico. Se for conveniente, use tecnologia.
(d) Decida se deve rejeitar ou não a hipótese nula. Depois, interprete a decisão no contexto da afirmação original.
Veículos e colisões Você trabalha em uma empresa de seguros e está estudando a relação entre tipos de batidas e os veículos envolvidos. Como parte do seu estudo, você seleciona aleatoriamente 3.059 colisōes de veículos e organiza os dados resultantes como pode ser observado na tabela de contingência. Com
α=0,05, você pode concluir que o tipo de colisões depende do tipo de veículo?
(Adaptodo de insurance institute for Highway Safety.)
Tipo de colisão
Veículo
Carro
Pickup
Utilitário
desportivo
Somente um
velculo
832
365
300
Múltiplos
veĺculos
1.149
237
176

Passo 1

O enunciado apresenta uma tabela de contingência com três tipos de veículo (Carro, Pickup e Utilitário Desportivo) e dois tipos de colisão (somente um veículo e múltiplos veículos), totalizando n=3059 observações. O objetivo é aplicar o teste qui-quadrado de independência para verificar, a um nível de significância \alpha=0{,}05, se o tipo de colisão é independente do tipo de veículo. Precisaremos calcular totais marginais, contagens esperadas, a estatística \chi^2 e compará-la ao valor crítico de \chi^2 com os graus de liberdade adequados.

Passo 2

A formulação das hipóteses é
H_0:\text{O tipo de colisão é independente do tipo de veículo},ãéí
H_1:\text{O tipo de colisão não é independente do tipo de veículo}.ããéí

Passo 3

r=3 linhas (veículos) e c=2 colunas (colisões), logo os graus de liberdade são
df = (r-1)(c-1) = (3-1)(2-1) = 2.
Pelo nível \alpha=0{,}05, o valor crítico é
\chi^2_{0{,}95,\,2} = 5{,}991,
e a região de rejeição é \chi^2>5{,}991.

Passo 4

Vamos calcular as contagens marginais e as esperadas. A tabela observada é
\begin{array}{l|ccc|c} \text{Colisão}\backslash \text{Veículo} & \text{Carro} & \text{Pickup} & \text{Utilitário} & \text{Total}\\hline \text{Somente um veículo} & 832 & 365 & 300 & 1497\\\ \text{Múltiplos veículos} & 1149 & 237 & 176 & 1562\\hline \text{Total} & 1981 & 602 & 476 & 3059 \end{array}ãíáíúí
A contagem esperada em cada célula é
E_{ij} = \frac{(\text{total da linha }i)\times(\text{total da coluna }j)}{3059}.
Fazendo os cálculos, obtemos (aproximando duas casas decimais):
\begin{array}{l|ccc} & E(\text{Carro}) & E(\text{Pickup}) & E(\text{Utilitário}) \\hline \text{Somente um} & 969{,}45 & 294{,}60 & 232{,}95 \\\ \text{Múltiplos} & 1011{,}55 & 307{,}40 & 243{,}05 \end{array}áú
Todas as E_{ij} são muito maiores que 5, satisfazendo o requisito de validade do teste.

Passo 5

A estatística de teste é
\chi^2 = \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{3}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}},
onde O_{ij} são as frequências observadas. Calculando célula a célula, chega-se a
\chi^2 \approx 108{,}9.

Passo 6

Comparamos \chi^2\approx108{,}9 com o crítico 5{,}991. Como
108{,}9 > 5{,}991,
rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0{,}05.
Interpretação: há evidência estatística significativa de que o tipo de colisão depende do tipo de veículo.

Resposta

Como \chi^2\approx108{,}9 > 5{,}991, rejeita-se H_0. Conclui-se que o tipo de colisão não é independente do tipo de veículo; ou seja, existe relação entre o veículo envolvido e o tipo de colisão.

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