Um homem tem 5 amigas e 7 amigos. Sua esposa tem 7 amigas e 5 amigos. De quantos modos eles podem convidar 6 amigas e 6 amigos, se cada um deve convidar 6 pessoas?
Passo 1
O enunciado pede para contar de quantos modos um casal (homem e esposa) pode convidar, no total,
amigas e
amigos, sabendo que:
-- O homem tem amigas e
amigos.
-- A esposa tem amigas e
amigos.
Cada um deve convidar exatamente pessoas, e no total devem ser convidadas
amigas e
amigos. Trata‐se de um problema de contagem de combinações com restrições de soma.
-- O homem tem
-- A esposa tem
Cada um deve convidar exatamente
Passo 2
Denotemos por
o número de amigas que o homem convida.
Então:
– O homem convida amigas (de suas
) e
amigos (de seus
).
– A esposa convida, para completar as amigas no total,
amigas (de suas
) e, portanto,
amigos (de seus
).
Então:
– O homem convida
– A esposa convida, para completar as
Passo 3
O número de modos de escolha do homem, dado
, é
O número de modos de escolha da esposa, dado
, é
Passo 4
Pela regra do produto e somando sobre todas as possibilidades
, obtemos
Passo 5
Vamos calcular termo a termo (usando
quando útil):
Passo 6
Somando todos os termos: