Um homem tem 5 amigas e 7 amigos. Sua esposa tem 7 amigas e 5 amigos. De quantos modos eles podem convidar 6 amigas e 6 amigos, se cada um deve convidar 6 pessoas?

Passo 1

O enunciado pede para contar de quantos modos um casal (homem e esposa) pode convidar, no total, 6 amigas e 6 amigos, sabendo que:
-- O homem tem 5 amigas e 7 amigos.
-- A esposa tem 7 amigas e 5 amigos.
Cada um deve convidar exatamente 6 pessoas, e no total devem ser convidadas 6 amigas e 6 amigos. Trata‐se de um problema de contagem de combinações com restrições de soma.

Passo 2

Denotemos por i o número de amigas que o homem convida.
Então:
– O homem convida i amigas (de suas 5) e 6-i amigos (de seus 7).
– A esposa convida, para completar as 6 amigas no total, 6-i amigas (de suas 7) e, portanto, 6-(6-i)=i amigos (de seus 5).

Passo 3

O número de modos de escolha do homem, dado i, é
binom5i;times;binom76-i
O número de modos de escolha da esposa, dado i, é
binom76-i;times;binom5i

Passo 4

Pela regra do produto e somando sobre todas as possibilidades i, obtemos
sumi=0^5 l[binom5i,binom76-ir] ;times; l[binom76-i,binom5ir] = sumi=0^5 binom5i^2,binom76-i^2

Passo 5

Vamos calcular termo a termo (usando binom76-i=binom7i+1 quando útil):
i=0: binom50^2binom76^2=1cdot 7^2=49 i=1: binom51^2binom75^2=5^2cdot21^2=25cdot441=11025 i=2: binom52^2binom74^2=10^2cdot35^2=100cdot1225=122500 i=3: binom53^2binom73^2=10^2cdot35^2=122500 i=4: binom54^2binom72^2=5^2cdot21^2=11025 i=5: binom55^2binom71^2=1cdot7^2=49

Passo 6

Somando todos os termos:
49 + 11025 + 122500 + 122500 + 11025 + 49 = 267148

Resposta

267148 modos.

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