Prove, usando um argumento combinatório, que os números abaixo são inteiros para qualquer
natural.
b)
;
b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
, o número
é um inteiro. Vamos usar um argumento combinatório: interpretar
como o número de permutações de um conjunto de
elementos e ver que ao dividir por
ainda contamos um conjunto finito, logo o quociente é inteiro.
Passo 2
Considere um conjunto
de
pessoas distintas. O número de maneiras de ordenar essas
pessoas em fila é
Agora imagine que, depois de formarmos essa fila, vamos agrupar as pessoas em
trios sucessivos: as posições
formam o primeiro trio, as posições
formam o segundo, e assim por diante até o
-ésimo trio.
Passo 3
Se quiséssemos apenas saber de quantas maneiras podemos obter essa sequência de
trios e não distinguirmos a ordem interna de cada trio (ou seja, dentro de cada grupo de
nós não nos importamos quem está em
,
ou
lugar), temos que dividir
por
para cada trio. Como há
trios, dividimos por
Portanto o número de arranjos em que só importa a composição de cada trio (mas importa a ordem dos trios como bloco
, bloco
, ···, bloco
) é exatamente
Passo 4
Esse último valor conta um conjunto bem definido de configurações (distribuir
pessoas em
trios ordenados, sem ordem interna nos trios). Como contações de conjuntos finitos são sempre inteiros, concluímos que
é um número inteiro para todo
.
Resposta
O número
é um inteiro para todo
.