Prove, usando um argumento combinatório, que os números abaixo são inteiros para qualquer n natural.
b) (3 n)!2^n cdot 3^n;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo ninN, o número
(3n)!2^ncdot3^n
é um inteiro. Vamos usar um argumento combinatório: interpretar (3n)! como o número de permutações de um conjunto de 3n elementos e ver que ao dividir por 2^n3^n=(3!)^n ainda contamos um conjunto finito, logo o quociente é inteiro.

Passo 2

Considere um conjunto A de 3n pessoas distintas. O número de maneiras de ordenar essas 3n pessoas em fila é
(3n)!
Agora imagine que, depois de formarmos essa fila, vamos agrupar as pessoas em n trios sucessivos: as posições 1,2,3 formam o primeiro trio, as posições 4,5,6 formam o segundo, e assim por diante até o n-ésimo trio.

Passo 3

Se quiséssemos apenas saber de quantas maneiras podemos obter essa sequência de n trios e não distinguirmos a ordem interna de cada trio (ou seja, dentro de cada grupo de 3 nós não nos importamos quem está em 1^circ, 2^circ ou 3^circ lugar), temos que dividir (3n)! por 3! para cada trio. Como há n trios, dividimos por
(3!)^n = (2cdot3)^n = 2^n,3^n
Portanto o número de arranjos em que só importa a composição de cada trio (mas importa a ordem dos trios como bloco 1, bloco 2, ···, bloco n) é exatamente
(3n)!(3!)^n ;=; (3n)!2^n,3^n

Passo 4

Esse último valor conta um conjunto bem definido de configurações (distribuir 3n pessoas em n trios ordenados, sem ordem interna nos trios). Como contações de conjuntos finitos são sempre inteiros, concluímos que
(3n)!2^n,3^n
é um número inteiro para todo ninN.

Resposta

O número (3n)!2^ncdot3^n é um inteiro para todo ninN.

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