No início de uma festa há 6 rapazes desacompanhados e 10 moças desacompanhadas. Quantos são os estados possíveis no fim da festa?

Passo 1

O enunciado diz que no começo há 6 rapazes e 10 moças todos desacompanhados. No fim da festa, alguns rapazes podem ficar solteiros e alguns podem formar pares heterossexuais (um rapaz com uma moça), sem sobreposição (cada pessoa num único par). Precisamos contar todos os “estados” possíveis de pareamento. Isso é um problema de contagem de emparelhamentos parciais num grafo bipartido, usando combinatória básica.

Passo 2

Se formarem k casais, então:
  1. Escolhemos quais k rapazes serão pareados: binom6k.
  2. Escolhemos quais k moças serão pareadas: binom10k.
  3. Emparelhamos esses k rapazes com essas k moças de todas as maneiras possíveis: k!.
    Logo, para um dado k, há
binom6k,binom10k,k!
maneiras de formar exatamente k casais.

Passo 3

Como k pode variar de 0 até o máximo de 6 (não dá para formar mais de 6 casais tendo só 6 rapazes), o total de estados é
sumk=0^6 binom6k,binom10k,k!

Passo 4

Vamos calcular cada termo:
k=0:& binom60binom1000! =1, k=1:& binom61binom1011! =6cdot10cdot1 =60, k=2:& binom62binom1022! =15cdot45cdot2 =1350, k=3:& binom63binom1033! =20cdot120cdot6 =14400, k=4:& binom64binom1044! =15cdot210cdot24 =75600, k=5:& binom65binom1055! =6cdot252cdot120 =181440, k=6:& binom66binom1066! =1cdot210cdot720 =151200

Passo 5

Somando todos os casos:
1 + 60 + 1350 + 14400 + 75600 + 181440 + 151200 = 424051

Resposta

424051

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