Depois de ter dado um curso, um professor resolve se despedir de seus 7 alunos oferecendo, durante 7 dias consecutivos, 7 jantares para 3 alunos cada. De quantos modos ele pode fazer os convites se ele não deseja que um mesmo par de alunos compareça a mais de um jantar?

Passo 1

O enunciado diz que há 7 alunos e o professor fará 7 jantares (dias) convidando 3 alunos em cada jantar, com a restrição de que nenhum par de alunos pode aparecer junto em mais de um jantar. O conteúdo é de teoria de blocos: trata-se de escolher 7 subconjuntos de tamanho 3 (blocos) sobre um conjunto de 7 pontos, sem repetir pares, e depois ordená-los nos 7 dias.

Passo 2

Cada bloco (jantar) de 3 alunos contém binom32=3 pares. Como há 7 blocos, o total de pares contados é 7times3=21. Mas binom72=21, o número total de pares distintos de 7 alunos. Para não repetir nenhum par, cada par deve aparecer exatamente uma vez. Esse arranjo de blocos é exatamente um sistema de Steiner de ordem 7, chamado STS (7).

Passo 3

Em um conjunto fixo de 7 pontos, o número de sistemas de Steiner STS (7) (ou seja, de coleções não ordenadas de 7 blocos de tamanho 3 que cobrem cada par exatamente uma vez) é
7!|Aut( Fano )| ;=;5040168;=;30
Aqui |Aut(Fano)|=168 é o tamanho do grupo de automorfismos do plano de Fano.

Passo 4

Os jantares são ordenados em 7 dias distintos, então para cada STS (7) 7! maneiras de atribuir os 7 blocos aos 7 dias. Logo, o total de modos de convidar é
30 times 7! ;=;30 times 5040 ;=;151200

Resposta

151200 maneiras.

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