Uma moeda com probabilidade p(0<p<1) de cara é lançada n vezes de forma independente. Defina para 1 \leq k \leq n, o evento A_{k}=\{ cara no n-ésimo lançamento}. Determine a média e a variância de S_{n}=\sum_{k=1}^{n-1} I_{A_{k} \cap A_{k+1}}.

Passo 1

O enunciado considera n lançamentos independentes de uma moeda com probabilidade p de dar cara. Para cada k=1,\dots,n definimos o evento
A_k = \{\text{cara no \(k\)-ésimo lançamento}\}éç
e então S_n conta o número de pares consecutivos de caras, pois
S_n = \sum_{k=1}^{n-1} I_{A_k\cap A_{k+1}}.
O que precisamos é usar linearidade da esperança para E[S_n] e a fórmula de variância de soma, envolvendo variâncias e covariâncias, para \operatorname{Var}(S_n).

Passo 2

Defina
X_k = I_{A_k\cap A_{k+1}},\quad k=1,\dots,n-1,
de modo que S_n=\sum_{k=1}^{n-1}X_k. Primeiro,
E[X_k]=P(A_k\cap A_{k+1}) =P(\text{cara em \(k\) e em \(k+1\)}) =p^2.
Pela linearidade da esperança,
E[S_n] =\sum_{k=1}^{n-1}E[X_k] =(n-1)p^2.

Passo 3

Agora a variância. Sabemos que
\operatorname{Var}(S_n) =\sum_{k=1}^{n-1}\operatorname{Var}(X_k) +2\sum_{1\le i<j\le n-1}\operatorname{Cov}(X_i,X_j).
Como X_k é indicador,
\operatorname{Var}(X_k) =E[X_k]\bigl(1-E[X_k]\bigr) =p^2(1-p^2).
Além disso, se |i-j|\ge2 então X_i e X_j são independentes e
\operatorname{Cov}(X_i,X_j)=0. Para j=i+1,
X_i X_{i+1}=1 \iff \text{lances \(i,i+1,i+2\) são todos cara},ã
logo
E[X_iX_{i+1}] =p^3,
e
\operatorname{Cov}(X_i,X_{i+1}) =E[X_iX_{i+1}]-E[X_i]E[X_{i+1}] =p^3-p^4.
Logo
\operatorname{Var}(S_n) =(n-1)\,p^2(1-p^2) +2\,(n-2)\,(p^3-p^4).

Passo 4

Podemos deixar a variance numa forma combinada. Expandindo,
(n-1)\,p^2(1-p^2) =(n-1)(p^2-p^4), \quad 2(n-2)(p^3-p^4) =2(n-2)p^3-2(n-2)p^4.
Somando termos,
\operatorname{Var}(S_n) =(n-1)p^2+2(n-2)p^3 -\bigl[(n-1)+2(n-2)\bigr]p^4 =(n-1)p^2+2(n-2)p^3-(3n-5)p^4.

Resposta

E[S_n]=(n-1)p^2
\displaystyle \operatorname{Var}(S_n)=(n-1)\,p^2(1-p^2)+2(n-2)\,(p^3-p^4),
ou equivalentemente
\displaystyle \operatorname{Var}(S_n)=(n-1)p^2+2(n-2)p^3-(3n-5)p^4.

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