Uma moeda com probabilidade
de cara é lançada
vezes de forma independente. Defina para
, o evento
cara no
-ésimo lançamento}. Determine a média e a variância de
.
Passo 1
O enunciado considera
lançamentos independentes de uma moeda com probabilidade
de dar cara. Para cada
definimos o evento
e então
conta o número de pares consecutivos de caras, pois
O que precisamos é usar linearidade da esperança para
e a fórmula de variância de soma, envolvendo variâncias e covariâncias, para
.
Passo 2
Defina
de modo que
. Primeiro,
Pela linearidade da esperança,
Passo 3
Agora a variância. Sabemos que
Como
é indicador,
Além disso, se
então
e
são independentes e
. Para
,
logo
e
Logo
Passo 4
Podemos deixar a variance numa forma combinada. Expandindo,
Somando termos,
Resposta
ou equivalentemente