O número de passageiros para uma rota de ônibus particular foi contado e dados relativos a três semanas são apresentados na tabela a seguir.
Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Dom
Semana 1 29 33 26 28 30 39 31
Semana 2 28 31 29 37 28 37 25
Semana 3 33 37 30 28 25 39 28
a. Calcule uma estimativa pontual do número médio de passageiros e seu erro-padrão. Considere o estimador imparcial \hat{\mu}=X.
b. Calcule uma estimativa pontual do número médio de passageiros e seu erro- padrão em dias de semana e finais de semana separadamente.

Passo 1

O enunciado fornece as contagens diárias de passageiros num período de três semanas (21 dias) e pede:
a. estimativa pontual do número médio de passageiros em toda a amostra e seu erro-padrão;
b. estimativa pontual e erro-padrão separados para dias de semana (15 dias) e finais de semana (6 dias).
O conteúdo é estimação pontual com \hat\mu = \bar X e cálculo do erro-padrão \mathrm{se}(\bar X).

Passo 2

Usamos o estimador imparcial \displaystyle \hat\mu = \bar X = \frac1n\sum_{i=1}^n X_i
e definimos o erro-padrão por
\mathrm{se}(\bar X) \;=\; \frac{s}{\sqrt n},
onde
s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2 = \frac{1}{n-1}\Bigl(\sum_{i=1}^n X_i^2 - \frac{(\sum_{i=1}^n X_i)^2}{n}\Bigr).

Passo 3

Para todas as n=21 observações temos \sum X_i = 651, \sum X_i^2 = 20577. Então
s^2 = \frac{20577 - 651^2/21}{21-1} = \frac{20577 - 20181}{20} = \frac{396}{20} = 19,8,
s = \sqrt{19,8}\approx 4,45, \qquad \bar X = \frac{651}{21} = 31,
\mathrm{se}(\bar X) = \frac{4,45}{\sqrt{21}}\approx 0,97.

Passo 4

Agora só para os n_1=15 dias de semana (Seg–Sex) temos \sum X_i = 452, \sum X_i^2 = 13796. Logo
s_1^2 = \frac{13796 - 452^2/15}{15-1} = \frac{13796 - 13620{,}27}{14} \approx 12{,}55,
s_1 \approx 3{,}54, \qquad \bar X_1 = \frac{452}{15} \approx 30{,}13,
\mathrm{se}(\bar X_1) = \frac{3{,}54}{\sqrt{15}}\approx 0{,}92.

Passo 5

Para os n_2=6 dias de fim de semana (Sáb–Dom) temos \sum X_i = 199, \sum X_i^2 = 6781. Assim
s_2^2 = \frac{6781 - 199^2/6}{6-1} = \frac{6781 - 6600{,}17}{5} \approx 36{,}17,
s_2 \approx 6{,}02, \qquad \bar X_2 = \frac{199}{6} \approx 33{,}17,
\mathrm{se}(\bar X_2) = \frac{6{,}02}{\sqrt{6}}\approx 2{,}46.

Resposta

a. \hat\mu = 31, \mathrm{se}(\hat\mu)\approx 0,97.
b. dias de semana: \hat\mu\approx 30,13, \mathrm{se}(\hat\mu)\approx 0,92;
finais de semana: \hat\mu\approx 33,17, \mathrm{se}(\hat\mu)\approx 2,46.

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