Obtenha a \sigma-álgebra gerada pela classe \{\{0,1\},\{1,2\}\} se:
\Omega=\{0,1,2,3\}.

Passo 1

O enunciado pede a menor \sigma-álgebra em \Omega=\{0,1,2,3\} que contenha a classe geradora
\mathcal{C}=\{\{0,1\},\{1,2\}\}.
Lembrando que uma \sigma-álgebra é um conjunto de subconjuntos fechado sob complemento e união contável (no caso finito basta união finita).

Passo 2

Para encontrar \sigma(\mathcal{C}), precisamos incluir em particular todos os complementos dos geradores e as uniões e interseções que permitam obter novos conjuntos.
Iremos construir todos os “átomos” — subconjuntos minimalmente não quebráveis — e depois ver que toda união deles pertence à \sigma-álgebra.

Passo 3

Primeiro calculamos as interseções envolvendo \{0,1\} e \{1,2\} e seus complementos:
A interseção dos geradores dá
\{0,1\}\,\cap\,\{1,2\} = \{1\},
ou seja, \{1\}\in\sigma(\mathcal{C}).
Em seguida usamos complemento de \{1,2\}:
\{0,1\}\,\cap\,(\{1,2\})^c = \{0,1\}\,\cap\,\{0,3\} = \{0\},
logo \{0\}\in\sigma(\mathcal{C}).
Analogamente, com complemento de \{0,1\}:
(\{0,1\})^c\,\cap\,\{1,2\} = \{2,3\}\,\cap\,\{1,2\} = \{2\},
portanto \{2\}\in\sigma(\mathcal{C}).
Por fim, usando união dos geradores e seu complemento:
(\{0,1\}\,\cup\,\{1,2\})^c = \{0,1,2\}^c = \{3\},
de modo que \{3\}\in\sigma(\mathcal{C}).

Passo 4

Agora vimos que todos os singletons \{0\},\{1\},\{2\},\{3\} estão em \sigma(\mathcal{C}).
Como qualquer subconjunto de \Omega é união desses singletons, a \sigma-álgebra gerada contém todas as uniões possíveis, isto é, todo o subconjunto de \Omega.

Resposta

A \sigma-álgebra gerada por \{\{0,1\},\{1,2\}\} em \Omega=\{0,1,2,3\} é a reta completa, ou seja,
\sigma(\{\{0,1\},\{1,2\}\}) \;=\; \mathcal{P}(\{0,1,2,3\}),
o conjunto de todos os 16 subconjuntos de \Omega.

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