Obtenha a
-álgebra gerada pela classe
se:
.
Passo 1
O enunciado pede a menor
-álgebra em
que contenha a classe geradora
.
Lembrando que uma -álgebra é um conjunto de subconjuntos fechado sob complemento e união contável (no caso finito basta união finita).
Lembrando que uma
Passo 2
Para encontrar
, precisamos incluir em particular todos os complementos dos geradores e as uniões e interseções que permitam obter novos conjuntos.
Iremos construir todos os “átomos” — subconjuntos minimalmente não quebráveis — e depois ver que toda união deles pertence à -álgebra.
Iremos construir todos os “átomos” — subconjuntos minimalmente não quebráveis — e depois ver que toda união deles pertence à
Passo 3
Primeiro calculamos as interseções envolvendo
e
e seus complementos:
A interseção dos geradores dá
ou seja,
.
Em seguida usamos complemento de
:
logo
.
Analogamente, com complemento de
:
portanto
.
Por fim, usando união dos geradores e seu complemento:
de modo que
.
Passo 4
Agora vimos que todos os singletons
estão em
.
Como qualquer subconjunto de é união desses singletons, a
-álgebra gerada contém todas as uniões possíveis, isto é, todo o subconjunto de
.
Como qualquer subconjunto de
Resposta
A
-álgebra gerada por
em
é a reta completa, ou seja,
o conjunto de todos os
subconjuntos de
.