A partir de um conjunto de
atletas formam-se
times de
atletas cada. Todos os atletas participam de um mesmo número de times e cada par de atletas fica junto no mesmo time um mesmo número de vezes. Determine:
a) de quantos times cada atleta participa;
b) em quantos times cada par de atletas fica junto.
a) de quantos times cada atleta participa;
b) em quantos times cada par de atletas fica junto.
Passo 1
O enunciado fala de
atletas e
times com
atletas em cada time, de modo que cada atleta participa de um mesmo número
de times e cada par de atletas fica junto em exatamente
times. O conteúdo é de design balanceado (BIBD) e usaremos contagem dupla para encontrar
e
.
Passo 2
Contagem dupla do número total de “posições” atleta–time: de um lado, há
atletas participando cada um de
times, dando
posições no total. Do outro lado, há
times com
atletas cada, dando
posições. Como as duas contagens referem-se ao mesmo conjunto de incidências, temos
Passo 3
Isolando
na equação anterior, obtemos
Passo 4
Agora fazemos contagem dupla das incidências par de atletas–time: há
pares de atletas, cada par aparece em
times, totalizando
incidências. Por outro lado, cada time reúne
pares, e há
times, totalizando
incidências. Igualando,
Passo 5
Cancelando o fator
e isolando
, obtemos
Resposta
a) Cada atleta participa de
times.
b) Cada par de atletas fica junto em
times.