A partir de um conjunto de a atletas formam-se t times de k atletas cada. Todos os atletas participam de um mesmo número de times e cada par de atletas fica junto no mesmo time um mesmo número de vezes. Determine:
a) de quantos times cada atleta participa;
b) em quantos times cada par de atletas fica junto.

Passo 1

O enunciado fala de a atletas e t times com k atletas em cada time, de modo que cada atleta participa de um mesmo número r de times e cada par de atletas fica junto em exatamente lambda times. O conteúdo é de design balanceado (BIBD) e usaremos contagem dupla para encontrar r e lambda.

Passo 2

Contagem dupla do número total de “posições” atleta–time: de um lado, há a atletas participando cada um de r times, dando a,r posições no total. Do outro lado, há t times com k atletas cada, dando t,k posições. Como as duas contagens referem-se ao mesmo conjunto de incidências, temos
a,r = t,k

Passo 3

Isolando r na equação anterior, obtemos
r = t,ka

Passo 4

Agora fazemos contagem dupla das incidências par de atletas–time: há binoma2 = tfraca(a-1)2 pares de atletas, cada par aparece em lambda times, totalizando
a(a-1)2,lambda
incidências. Por outro lado, cada time reúne binomk2 = tfrack(k-1)2 pares, e há t times, totalizando
t ,k(k-1)2
incidências. Igualando,
a(a-1)2,lambda ;=; t ,k(k-1)2

Passo 5

Cancelando o fator tfrac12 e isolando lambda, obtemos
lambda = t,k(k-1)a(a-1)

Resposta

a) Cada atleta participa de
r = t,ka
times.
b) Cada par de atletas fica junto em
lambda = t,k,(k-1)a,l(a-1r)
times.

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