Prove, usando um argumento combinatório, que os números abaixo são inteiros para qualquer n natural.
d) (n^2)!(n!)^n+1;

Passo 1

O que queremos provar é que, para todo natural n,
(n^2)!(n!)^,n+1
é um inteiro. O truque é usar um argumento combinatório via ação de um grupo finito de ordem (n!)^,n+1 sobre um conjunto de tamanho (n^2)!.

Passo 2

Considere todas as bijeções
fcolon [n]times[n];longrightarrow;1,2,dots,n^2,
isto é, todos os jeitos de preencher uma grade com n linhas e n colunas usando exatamente os números de 1 a n^2 sem repetir. O número total de tais preenchimentos é
|X| = (n^2)!,

Passo 3

Definimos agora um grupo G que age sobre esses preenchimentos, da seguinte forma:
  • Para cada coluna jin[n] temos uma permutação sigmajin Sn que troca as linhas daquela coluna.
  • Além disso temos uma permutação piin Sn que permuta as colunas inteiras.
    Portanto
G cong l(Snr)^ntimes Sn,
e sua ordem é
|G| = (n!)^n;times;n! ;=;(n!)^,n+1

Passo 4

A ação de G em X é dada assim:
  • Se (sigma1,dots,sigman;pi)in G e fin X, então (sigma1,dots,sigman;pi)cdot f é o preenchimento em que primeiro permutamos as colunas de f segundo pi e depois, em cada coluna j, aplicamos a permutação de linhas sigmaj.
    Essa ação é livre, pois nenhum elemento não trivial de G pode fixar um preenchimento f: permutar linhas dentro de uma coluna ou trocar colunas exigiria que dois lugares distintos contivessem o mesmo número, o que não acontece em f.

Passo 5

Como a ação é livre, cada órbita tem exatamente |G|=(n!)^,n+1 elementos, e portanto o número de órbitas é
|X||G| ;=; (n^2)!(n!)^,n+1,
que é um inteiro (pois conta exatamente quantas órbitas de preenchimentos há).

Resposta

Portanto
(n^2)!(n!)^,n+1
é inteiro para todo ninN.

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