Prove as identidades:
\frac{1}{p+1} C_{n}^{p}=\frac{1}{n+1} C_{n+1}^{p+1}.

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade envolvendo coeficientes binomiais
\frac{1}{p+1}\binom{n}{p} \;=\;\frac{1}{n+1}\binom{n+1}{p+1}.
O conteúdo é combinação e usaremos a definição
\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!\,(n-p)!}.

Passo 2

Aplicamos a definição de \binom{n}{p} no lado esquerdo:
\frac{1}{p+1}\binom{n}{p} =\frac{1}{p+1}\,\frac{n!}{p!\,(n-p)!} =\frac{n!}{(p+1)!\,(n-p)!}.

Passo 3

Agora aplicamos a definição de \binom{n+1}{p+1} no lado direito:
\frac{1}{n+1}\binom{n+1}{p+1} =\frac{1}{n+1}\,\frac{(n+1)!}{(p+1)!\,\bigl((n+1)-(p+1)\bigr)!} =\frac{(n+1)!}{(n+1)\,(p+1)!\,(n-p)!}.

Passo 4

Simplificando \frac{(n+1)!}{n+1}=n!, obtemos
\frac{(n+1)!}{(n+1)\,(p+1)!\,(n-p)!} =\frac{n!}{(p+1)!\,(n-p)!}.

Passo 5

Como ambos os lados chegaram a
\frac{n!}{(p+1)!\,(n-p)!},
concluímos que
\frac{1}{p+1}\binom{n}{p} \;=\;\frac{1}{n+1}\binom{n+1}{p+1}.

Resposta

A identidade está provada.

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