De quantos modos podemos dividir 18 pessoas em:
9 grupos de 2 pessoas cada?

Passo 1

Temos 18 pessoas distintas e queremos dividi-las em 9 grupos de 2 sem distinguir a ordem dos grupos nem a ordem dentro de cada par. O conteúdo é contagem de partições em blocos de tamanho fixo.

Passo 2

Imagine formar os pares “um após o outro”: primeiro escolho 2 pessoas dentre as 18, depois 2 dentre das 16 restantes, e assim por diante até formar 9 pares. O número de maneiras de fazer isso, com ordem na escolha de cada par e ordem entre os pares, seria
\binom{18}{2}\times \binom{16}{2}\times \cdots \times \binom{2}{2}.

Passo 3

Devemos então corrigir o excesso de contagens:
  1. cada par foi contado em 2! ordens diferentes (pois dentro do par a ordem não importa), e há 9 pares,
  2. e a sequência de escolha dos 9 pares foi considerada ordenada, mas os pares são indistintos, gerando um fator extra de 9!.
    Logo, dividimos por (2!)^{9} e por 9!.

Passo 4

Reunindo tudo, o número de partições em pares é
\frac{\displaystyle\binom{18}{2}\binom{16}{2}\cdots\binom{2}{2}}{(2!)^{9}\,9!}.
Mas note que
\binom{18}{2}\binom{16}{2}\cdots\binom{2}{2} =\frac{18!}{2!\,16!}\times\frac{16!}{2!\,14!}\times\cdots\times\frac{2!}{2!\,0!} =\frac{18!}{(2!)^{9}}.

Passo 5

Substituindo na fórmula de partição, obtemos
\frac{\displaystyle\frac{18!}{(2!)^{9}}}{(2!)^{9}\,9!} =\frac{18!}{(2!)^{9}\,(2!)^{9}\,9!}
porém cada par só precisa de um fator 2!, de modo que a forma correta e simplificada é
\frac{18!}{(2!)^{9}\,9!}.

Resposta

\frac{18!}{(2!)^{9}\,9!}.

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