De quantos modos podemos dividir 18 pessoas em:
9 grupos de 2 pessoas cada?
9 grupos de 2 pessoas cada?
Passo 1
Temos
pessoas distintas e queremos dividi-las em
grupos de
sem distinguir a ordem dos grupos nem a ordem dentro de cada par. O conteúdo é contagem de partições em blocos de tamanho fixo.
Passo 2
Imagine formar os pares “um após o outro”: primeiro escolho
pessoas dentre as
, depois
dentre das
restantes, e assim por diante até formar
pares. O número de maneiras de fazer isso, com ordem na escolha de cada par e ordem entre os pares, seria
Passo 3
Devemos então corrigir o excesso de contagens:
- cada par foi contado em
ordens diferentes (pois dentro do par a ordem não importa), e há pares, - e a sequência de escolha dos
pares foi considerada ordenada, mas os pares são indistintos, gerando um fator extra de .
Logo, dividimos pore por .
Passo 4
Reunindo tudo, o número de partições em pares é
Mas note que
Passo 5
Substituindo na fórmula de partição, obtemos
porém cada par só precisa de um fator
, de modo que a forma correta e simplificada é