De quantos modos podemos dividir 18 pessoas em:
3 grupos de 6 pessoas cada?

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de particionar 18 pessoas em 3 grupos de 6 pessoas cada, sem que haja distinção entre os grupos (ou seja, grupos não rotulados). Para resolver isso, vamos usar contagem de combinações e depois corrigir pela indistinguibilidade.

Passo 2

Primeiro, escolhemos 6 pessoas para formar o primeiro grupo. Isso pode ser feito de
\displaystyle \binom{18}{6}
maneiras. Das 12 pessoas que restam, escolhemos 6 para o segundo grupo, de
\displaystyle \binom{12}{6}
maneiras. As últimas 6 pessoas formam o terceiro grupo automaticamente, de
\displaystyle \binom{6}{6}=1
maneira.

Passo 3

Contudo, como os três grupos são indistinguíveis, permutar entre si as escolhas acima não gera novas divisões. Precisamos então dividir o produto obtido por 3! para eliminar essas repetições.

Passo 4

O número total de divisões é portanto
\frac{\displaystyle \binom{18}{6}\,\binom{12}{6}\,\binom{6}{6}}{3!}
que, escrevendo em termos de fatoriais, fica
\frac{18!}{(6!)^3\,3!}.

Resposta

\displaystyle \frac{18!}{(6!)^3\,3!}

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