Quantos são os números naturais de 7 dígitos nos quais o dígito 4 figura pelo menos 3 vezes e o dígito 8 pelo menos 2 vezes?

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de números naturais de 7 dígitos (ou seja, strings de comprimento 7 com o primeiro dígito em 1,dots,9) que contenham pelo menos 3 ocorrências do dígito 4 e pelo menos 2 ocorrências do dígito 8. Vamos tratar isso com contagem combinatória e inclusão–exclusão em dois passos: primeiro contando todas as strings de comprimento 7 sobre 0,dots,9 que satisfaçam a condição, depois subtraindo as que começam com zero.

Passo 2

Seja S o número de sequências de 7 dígitos em 0,dots,9 com pelo menos 3 dígitos 4 e pelo menos 2 dígitos 8. Pela inclusão–exclusão,
S ;=; 10^7 ;-;sumi=0^2binom7i9^7-i ;-;sumj=0^1binom7j9^7-j ;+;sumi=0^2sumj=0^1binom7ibinom7-ij8^7-i-j
Aqui
A7=sumi=0^2binom7i9^7-i, B7=sumj=0^1binom7j9^7-j, C7=sumi=0^2sumj=0^1binom7ibinom7-ij8^7-i-j

Passo 3

Das S sequências, aquelas que começam com zero também satisfazem a condição mas não são números de 7 dígitos naturais. Se a primeira posição é zero, basta contar sequências de comprimento 6 com pelo menos 3 vezes 4 e 2 vezes 8, obtendo
T ;=; 10^6 ;-;sumi=0^2binom6i9^6-i ;-;sumj=0^1binom6j9^6-j ;+;sumi=0^2sumj=0^1binom6ibinom6-ij8^6-i-j

Passo 4

O total desejado é
Resposta ;=; S - T
Substituindo e simplificando numericamente, chega-se a
Resposta = 1,077,858

Resposta

1 077 858

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