Quantos são os números naturais de 7 dígitos nos quais o dígito 4 figura pelo menos 3 vezes e o dígito 8 pelo menos 2 vezes?
Passo 1
O enunciado pede a quantidade de números naturais de 7 dígitos (ou seja, strings de comprimento 7 com o primeiro dígito em
) que contenham pelo menos 3 ocorrências do dígito 4 e pelo menos 2 ocorrências do dígito 8. Vamos tratar isso com contagem combinatória e inclusão–exclusão em dois passos: primeiro contando todas as strings de comprimento 7 sobre
que satisfaçam a condição, depois subtraindo as que começam com zero.
Passo 2
Seja
o número de sequências de 7 dígitos em
com pelo menos 3 dígitos 4 e pelo menos 2 dígitos 8. Pela inclusão–exclusão,
Aqui
Passo 3
Das
sequências, aquelas que começam com zero também satisfazem a condição mas não são números de 7 dígitos naturais. Se a primeira posição é zero, basta contar sequências de comprimento 6 com pelo menos 3 vezes 4 e 2 vezes 8, obtendo
Passo 4
O total desejado é
Substituindo e simplificando numericamente, chega-se a
Resposta
1 077 858