Sabe-se que 20 % dos animais submetidos a um certo tratamento não sobrevivem. Se esse tratamento foi aplicado em 20 animais e se X é o número de não sobreviventes, pede-se:
a) Calcular E(X) e V(X);
b) Calcular a probabilidade de sobreviverem no mínimo 18 animais.

Passo 1

O enunciado diz que, de cada 20 animais tratados, 20% não sobrevivem. Definimos X como o número de não-sobreviventes. Isso implica que X segue uma distribuição binomial com parâmetros n=20 e p=0,2. Vamos usar as fórmulas
E(X)=np,
V(X)=np(1-p),
e para a probabilidade de interesse aplicaremos a soma de probabilidades da binomial.

Passo 2

Aplicando as fórmulas ao nosso caso:
E(X)=20cdot0,2=4,
V(X)=20cdot0,2cdot(1-0,2)=20cdot0,2cdot0,8=3,2

Passo 3

“Sobreviverem no mínimo 18 animais” significa ter no máximo 2 não-sobreviventes, isto é X<=2. Então
P(sobreviver>=18)=P(X<=2)=sumk=0^2binom20k(0,2)^k(0,8)^20-k

Passo 4

Calculando termo a termo:
P(X=0)&=binom200(0,2)^0(0,8)^20=0,8^20approx0,01154, P(X=1)&=binom201(0,2)^1(0,8)^19=20cdot0,2cdot0,8^19approx0,0577, P(X=2)&=binom202(0,2)^2(0,8)^18=190cdot0,04cdot0,8^18approx0,1371
Somando,
P(X<=2)approx0,01154+0,0577+0,1371=0,2063

Resposta

a) E(X)=4 e V(X)=3,2.
b) P(sobreviver>=18)approx0,2063.

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