Salários anuais A seguir, listamos uma amostra dos salários anuais (em milhares de dólares) para os funcionários municipais de Dallas e Houston.
Dallas: \quad \begin{array}{lllllllll}34,9 & 25,7 & 17,3 & 16,8 & 26,8 & 24,7 & 29,4 & 32,7 & 25,5\end{array}
Houston: 25,623,226,727,725,426,418,326,131,1
(a) Encontre a amplitude, a variância e 0 desvio padrão de cada conjunto de dados.
(b) Interprete os resultados no contexto da vida real.

Passo 1

O enunciado apresenta duas amostras de salários anuais (em milhares de dólares) para funcionários municipais de Dallas e Houston e pede que calculemos para cada conjunto de dados a amplitude, a variância amostral e o desvio padrão amostral. Usaremos as fórmulas:
Amplitude
R = \max(x_i) - \min(x_i).
Variância amostral
s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2,
onde \bar x = \tfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
Desvio padrão amostral
s = \sqrt{s^2}.

Passo 2

Calculemos a amplitude de cada amostra.
Dallas: os valores são
16{,}8,\;17{,}3,\;24{,}7,\;25{,}5,\;25{,}7,\;26{,}8,\;29{,}4,\;32{,}7,\;34{,}9,
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R_D = 34{,}9 - 16{,}8 = 18{,}1.
Houston: os valores são
18{,}3,\;23{,}2,\;25{,}4,\;25{,}6,\;26{,}1,\;26{,}4,\;26{,}7,\;27{,}7,\;31{,}1,
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R_H = 31{,}1 - 18{,}3 = 12{,}8.

Passo 3

Calculemos as médias \bar x_D e \bar x_H.
Dallas:
\bar x_D = \frac{34{,}9 + 25{,}7 + 17{,}3 + 16{,}8 + 26{,}8 + 24{,}7 + 29{,}4 + 32{,}7 + 25{,}5}{9} = \frac{233{,}8}{9} \approx 25{,}9778.
Houston:
\bar x_H = \frac{25{,}6 + 23{,}2 + 26{,}7 + 27{,}7 + 25{,}4 + 26{,}4 + 18{,}3 + 26{,}1 + 31{,}1}{9} = \frac{230{,}5}{9} \approx 25{,}6111.

Passo 4

Para Dallas, calculemos a soma dos quadrados dos desvios:
\sum (x_i - \bar x_D)^2 \approx 298{,}65.

Passo 5

Daí a variância e o desvio padrão amostrais de Dallas são
s_D^2 = \frac{298{,}65}{9 - 1} = \frac{298{,}65}{8} \approx 37{,}33,
s_D = \sqrt{37{,}33} \approx 6{,}11.

Passo 6

Para Houston, calculemos a soma dos quadrados dos desvios:
\sum (x_i - \bar x_H)^2 \approx 95{,}86.

Passo 7

Daí a variância e o desvio padrão amostrais de Houston são
s_H^2 = \frac{95{,}86}{9 - 1} = \frac{95{,}86}{8} \approx 11{,}98,
s_H = \sqrt{11{,}98} \approx 3{,}46.

Passo 8

Interpretando, os salários de Dallas têm maior amplitude e maior desvio padrão (mais dispersão), indicando maior variação entre o salário mínimo e o máximo. Em Houston, a amplitude e o desvio padrão são menores, o que sugere que os salários estão mais concentrados em torno da média, com menos extremos.

Resposta

Dallas:
R_D = 18{,}1,\quad s_D^2 \approx 37{,}33,\quad s_D \approx 6{,}11.
Houston:
R_H = 12{,}8,\quad s_H^2 \approx 11{,}98,\quad s_H \approx 3{,}46.

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