Seja
um espaço de probabilidade e suponha que todos os conjuntos abaixo pertençar a
. Prove:
(a) Se os
são disjuntos e
para todo
, então
(pode supor
para todo
).
(b) O item (a) com “=” no lugar de "
".
(c) Se
e
para todo
, então
quando
.
(d) Se os
são disjuntos e
, então
(e) Se
são disjuntos e
, então
(a) Se os
(b) O item (a) com “=” no lugar de "
(c) Se
(d) Se os
Passo 1
Resumindo o enunciado, estamos num espaço de probabilidade
e usamos a definição
Vamos provar cinco propriedades de probabilidades condicionais envolvendo uniões disjuntas, cadeias decrescentes e a fórmula da probabilidade total.
Passo 2
Prova de (a): Se os
são disjuntos e
para todo
, então, denotando
,
Como
e
, segue
Passo 3
Prova de (b): Idêntico ao item (a), mas supondo
. Na linha final acima obtemos
ou seja, a igualdade se preserva.
Passo 4
Prova de (c): Se
e
, então
Iterando,
Passo 5
Prova de (d): Se os
são disjuntos e
para todo
, usemos o resultado de (b) com
. Então
pois ambas as condicionais são dadas pelo mesmo valor médio ponderado.
Passo 6
Prova de (e): Se
são disjuntos,
e
, então
Mas
logo
Resposta
As afirmações (a)–(e) foram demonstradas nos passos anteriores.