Seja um espaço de probabilidade e suponha que todos os conjuntos abaixo pertençar a . Prove:
(a) Se os são disjuntos e para todo , então (pode supor para todo ).
(b) O item (a) com “=” no lugar de " ".
(c) Se e para todo , então quando .
(d) Se os são disjuntos e , então
(e) Se são disjuntos e , então

Passo 1

Resumindo o enunciado, estamos num espaço de probabilidade (Omega,d,P) e usamos a definição
P(Bmid A)=P(Bcap A)P(A), P(A)>0
Vamos provar cinco propriedades de probabilidades condicionais envolvendo uniões disjuntas, cadeias decrescentes e a fórmula da probabilidade total.

Passo 2

Prova de (a): Se os An são disjuntos e P(Bmid An)>= c para todo n, então, denotando U=cupn An,
P(Bmid U) =Pl(Bcap Ur)P(U) =sumn P(Bcap An)sumn P(An) =sumn P(Bmid An),P(An)sumn P(An)
Como P(Bmid An)>= c e sumn P(An)>0, segue
P(Bmid U)>=sumn c,P(An)sumn P(An) =c

Passo 3

Prova de (b): Idêntico ao item (a), mas supondo P(Bmid An)=c. Na linha final acima obtemos
P(Bmid U) =sumn c,P(An)sumn P(An) =c,
ou seja, a igualdade se preserva.

Passo 4

Prova de (c): Se An+1subset An e P(An+1mid An)<=12, então
P(An+1) =P(An+1mid An),P(An) <=12,P(An)
Iterando,
P(An)<=l(tfrac12r)^n-1P(A1) longrightarrow0 quando ntoinfty

Passo 5

Prova de (d): Se os An são disjuntos e P(Bmid An)=P(Cmid An) para todo n, usemos o resultado de (b) com c=P(Bmid An)=P(Cmid An). Então
P(Bmidcupn An) =P(Cmidcupn An),
pois ambas as condicionais são dadas pelo mesmo valor médio ponderado.

Passo 6

Prova de (e): Se A1,A2,dots são disjuntos, cupn An=Omega e P(C)>0, então
P(Bmid C) =P(Bcap C)P(C) =Pl(cupn (Ancap Bcap C)r)P(C) =sumn P(Ancap Bcap C)P(C)
Mas
P(Ancap Bcap C) =P(Bmid Ancap C),P(Ancap C),
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P(Bmid C) =sumnP(Ancap C)P(C),P(Bmid Ancap C) =sumn P(Anmid C),P(Bmid Ancap C)

Resposta

As afirmações (a)–(e) foram demonstradas nos passos anteriores.

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