Seja Omega um conjunto não-vazio.
(a) Prove: se alpha e mathscrB são sigma-álgebras de subconjuntos de Omega então alpha cap mathscrB também é uma sigma-álgebra.
(b) Generalize o item (a): se mathscrAi, i in I, são sigma-álgebras de partes de Omega onde I é um conjunto não-vazio de indices então capi in I mathscrAi também é uma sigma-álgebra.
(c) Seja mathscrC uma classe de subconjuntos de Omega. Mostre que existe pelo menos uma sigma-álgebra que contém mathscrC. (Sugestão. Qual a “maior” classe de subconjuntos de Omega ?)

Passo 1

O enunciado trata de -álgebras em um conjunto não-vazio . Lembrando que uma -álgebra em satisfaz:
. .
. Se então .
. Se então .
No item (a) devemos mostrar que a interseção de duas -álgebras também é -álgebra. No (b) generalizamos para interseção arbitrária. No (c) precisamos exibir ao menos uma -álgebra que contenha uma dada classe .

Passo 2

Prova de (a): seja alpha e mathscrB sigma-álgebras em Omega. Definimos
mathscrD ;=;alpha;cap;mathscrB
Mostramos que mathscrD satisfaz as três propriedades de sigma-álgebra:
1. Como Omegainalpha e OmegainmathscrB, segue OmegainmathscrD.
2. Se AinmathscrD então Ainalpha e AinmathscrB. Como cada uma é sigma-álgebra, A^cinalpha e A^cinmathscrB, logo A^cinmathscrD.
3. Se A1,A2,dotsinmathscrD então cada An está em alpha e em mathscrB. Como ambas são sigma-álgebras,
cupn=1^inftyAn;in;alpha e cupn=1^inftyAn;in;mathscrB,
portanto cupn=1^inftyAninmathscrD.
Assim mathscrD=alphacapmathscrB é sigma-álgebra.

Passo 3

Generalização (b): seja mathscrAiiin I uma família não-vazia de sigma-álgebras em Omega. Defina
mathscrA;=;capiin ImathscrAi
Verificamos as mesmas três propriedades:
1. Cada mathscrAi contém Omega, logo OmegainmathscrA.
2. Se AinmathscrA então AinmathscrAi para todo i; assim A^cinmathscrAi para todo i, ou seja, A^cinmathscrA.
3. Se A1,A2,dotsinmathscrA então para cada i temos AninmathscrAi e, como mathscrAi é sigma-álgebra, cupnAninmathscrAi. Portanto cupnAninmathscrA.
Logo capiin ImathscrAi é sigma-álgebra.

Passo 4

Existência (c): para qualquer classe mathscrCsubseteqP(Omega) basta notar que a álgebra das partes P(Omega) é sigma-álgebra (contém Omega, fechada por complementos e uniões arbitrárias) e obviamente mathscrCsubseteqP(Omega). Assim existe pelo menos uma sigma-álgebra que contém mathscrC.

Resposta

(a) alphacapmathscrB é sigma-álgebra, conforme verificado.
(b) capiin ImathscrAi é sigma-álgebra.
(c) A power set P(Omega) é sigma-álgebra que contém mathscrC.

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