Seja
um conjunto não-vazio.
(a) Prove: se
e
são
-álgebras de subconjuntos de
então
também é uma
-álgebra.
(b) Generalize o item (a): se
, são
-álgebras de partes de
onde
é um conjunto não-vazio de indices então
também é uma
-álgebra.
(c) Seja
uma classe de subconjuntos de
. Mostre que existe pelo menos uma
-álgebra que contém
. (Sugestão. Qual a “maior” classe de subconjuntos de
?)
(a) Prove: se
(b) Generalize o item (a): se
(c) Seja
Passo 1
O enunciado trata de
-álgebras em um conjunto não-vazio
. Lembrando que uma
-álgebra
em
satisfaz:
.
.
. Se
então .
. Se
então
.
No item (a) devemos mostrar que a interseção de duas
-álgebras também é
-álgebra. No (b) generalizamos para interseção arbitrária. No (c) precisamos exibir ao menos uma
-álgebra que contenha uma dada classe
.
Passo 2
Prova de (a): seja
e
-álgebras em
. Definimos
Mostramos que
satisfaz as três propriedades de
-álgebra:
. Como
e
, segue
.
. Se
então
e
. Como cada uma é
-álgebra,
e
, logo
.
. Se
então cada
está em
e em
. Como ambas são
-álgebras,
portanto
.
Assim
é
-álgebra.
Passo 3
Generalização (b): seja
uma família não-vazia de
-álgebras em
. Defina
Verificamos as mesmas três propriedades:
. Cada
contém
, logo
.
. Se
então
para todo
; assim
para todo
, ou seja,
.
. Se
então para cada
temos
e, como
é
-álgebra,
. Portanto
.
Logo
é
-álgebra.
Passo 4
Existência (c): para qualquer classe
basta notar que a álgebra das partes
é
-álgebra (contém
, fechada por complementos e uniões arbitrárias) e obviamente
. Assim existe pelo menos uma
-álgebra que contém
.
Resposta
(a)
é
-álgebra, conforme verificado.
(b) é
-álgebra.
(c) A power set é
-álgebra que contém
.
(b)
(c) A power set