Demonstre: se
e
são eventos aleatórios do mesmo espaço de probabilidade tais que
e
. quando
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dado um espaço de probabilidade e duas sequências de eventos
e
tais que
temos
O conteúdo usado será a aditividade de probabilidade em uniões disjuntas, monotonia de probabilidade e propriedades de limites.
Passo 2
Observe que
Ou seja, a probabilidade do complemento de
tende a zero.
Passo 3
Repare na decomposição em conjuntos disjuntos
logo, pela aditividade em uniões disjuntas,
Desse modo isolamos
Passo 4
Como sempre vale
então
Passo 5
Agora basta tirar limite em
nas três partes da desigualdade:
Pelo teorema do confronto, fica