Demonstre: se A1, A2, ldots e B1, B2 ldots são eventos aleatórios do mesmo espaço de probabilidade tais que P(An) 1 e P(Bn) p. quando n infty, então P(An cap Bn) p.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dado um espaço de probabilidade e duas sequências de eventos (An) e (Bn) tais que
limntoinftyP(An)=1 e limntoinftyP(Bn)=p,
temos
limntoinftyP(Ancap Bn)=p
O conteúdo usado será a aditividade de probabilidade em uniões disjuntas, monotonia de probabilidade e propriedades de limites.

Passo 2

Observe que
P(An^c)=1-P(An)Longrightarrow limntoinftyP(An^c)=1-1=0
Ou seja, a probabilidade do complemento de An tende a zero.

Passo 3

Repare na decomposição em conjuntos disjuntos
Bn=(Ancap Bn),cup,(An^ccap Bn),
logo, pela aditividade em uniões disjuntas,
P(Bn)=P(Ancap Bn)+P(An^ccap Bn)
Desse modo isolamos
P(Ancap Bn) = P(Bn)-P(An^ccap Bn)

Passo 4

Como sempre vale
0<= P(An^ccap Bn)<= P(An^c),
então
P(Bn)-P(An^c);<=;P(Ancap Bn);<=;P(Bn)

Passo 5

Agora basta tirar limite em ntoinfty nas três partes da desigualdade:
limntoinftyl(P(Bn)-P(An^c)r) = p - 0 = p, limntoinftyP(Bn)=p
Pelo teorema do confronto, fica
limntoinftyP(Ancap Bn)=p

Resposta

limntoinftyP(Ancap Bn)=p

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