(a) Sejam e eventos aleatórios em um espaço de probabilidade ( ). Mostre que e .
(b) Enuncie a generalização do item (a) para o caso da união de eventos aleatórios.
(c) Prove as seguintes desigualdades de Bonferroni:
(i)

Passo 1

O enunciado pede três coisas. Primeiro, mostrar para três eventos A,B,C que
P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)
e
P(Acup Bcup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(Acap B)-P(Acap C)-P(Bcap C)+P(Acap Bcap C)
Depois, enunciar a fórmula geral de inclusão–exclusão para a união de n eventos. Por fim, provar as desigualdades de Bonferroni
sumi=1^nP(Ai);-!!sum1<= i<j<= nP(Aicap Aj);<=;Pl(cupi=1^nAir);<=;sumi=1^nP(Ai);-!!sum1<= i<j<= nP(Aicap Aj);+!!sum1<= i<j<k<= nP(Aicap Ajcap Ak)
O conteúdo que vamos usar é a aditividade finita da probabilidade e o princípio de inclusão–exclusão (e, para Bonferroni, o uso de indicadores).

Passo 2

Prova de P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B).
Podemos escrever
Acup B ;=; A;dotcup;(Bsetminus A),
logo
P(Acup B)=P(A)+P(Bsetminus A)
Por outro lado
B=(Bsetminus A);dotcup;(Acap B) Longrightarrow P(B)=P(Bsetminus A)+P(Acap B),
de onde
P(Bsetminus A)=P(B)-P(Acap B)
Substituindo em P(Acup B) vem
P(Acup B)=P(A)+l[P(B)-P(Acap B)r] =P(A)+P(B)-P(Acap B)

Passo 3

Prova de
,P(Acup Bcup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(Acap B)-P(Acap C)-P(Bcap C)+P(Acap Bcap C)
Usamos primeiro a união de A com Bcup C:
P(Acup (Bcup C)) =P(A)+P(Bcup C)-Pl(Acap (Bcup C)r)
Pelo caso de dois eventos,
P(Bcup C)=P(B)+P(C)-P(Bcap C),
e
Acap (Bcup C)=(Acap B)cup(Acap C),
então
Pl(Acap (Bcup C)r) =P(Acap B)+P(Acap C)-P(Acap Bcap C)
Reunindo tudo:
P(Acup Bcup C) =P(A)+l[P(B)+P(C)-P(Bcap C)r] -l[P(Acap B)+P(Acap C)-P(Acap Bcap C)r],
que é exatamente a fórmula desejada.

Passo 4

Generalização para n eventos.
O princípio de inclusão–exclusão diz que
Pl(cupi=1^nAir) =sumk=1^n(-1)^,k-1!!! sum1<= i1<cdots<ik<= n Pl(Ai1capcdotscap Aikr)
Ou seja, alternamos soma de probabilidades de interseções de tamanho 1, subtraímos as de tamanho 2, somamos as de tamanho 3 e assim por diante até n.

Passo 5

Configuração para Bonferroni.
Definimos, para cada omegainOmega,
k(omega)=#li: omegain Air, S1(omega)=sumi=1^n1Ai(omega), S2(omega)=sumi<j1Aicap Aj(omega), S3(omega)=sumi<j<k1Aicap Ajcap Ak(omega)
Note que S1(omega)=k(omega), S2(omega)=binomk(omega)2, S3(omega)=binomk(omega)3.

Passo 6

Provar as desigualdades ponto a ponto em
Verifica-se que
Logo para todo . Integrando isso,
  1. Para a segunda desigualdade, consideramos
Checa-se que para todo vale . Integramos para obter

Resposta

(a)
P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B),
P(Acup Bcup C)=P(A)+P(B)+P(C) -P(Acap B)-P(Acap C)-P(Bcap C) +P(Acap Bcap C)
(b)
Pl(cupi=1^nAir) =sumk=1^n(-1)^k-1 sum1<= i1<cdots<ik<= n Pl(Ai1capcdotscap Aikr)
(c)
sumi=1^nP(Ai) -sum1<= i<j<= nP(Aicap Aj) ;<=; Pl(cupi=1^nAir) ;<=; sumi=1^nP(Ai) -sum1<= i<j<= nP(Aicap Aj) +sum1<= i<j<k<= nP(Aicap Ajcap Ak)

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