(a) Sejam e eventos aleatórios em um espaço de probabilidade ( ). Mostre que e .
(b) Enuncie a generalização do item (a) para o caso da união de eventos aleatórios.
(c) Prove as seguintes desigualdades de Bonferroni:
(i)
Passo 1
O enunciado pede três coisas. Primeiro, mostrar para três eventos que
e
Depois, enunciar a fórmula geral de inclusão–exclusão para a união de eventos. Por fim, provar as desigualdades de Bonferroni
O conteúdo que vamos usar é a aditividade finita da probabilidade e o princípio de inclusão–exclusão (e, para Bonferroni, o uso de indicadores).
Passo 2
Prova de .
Podemos escrever
logo
Por outro lado
de onde
Substituindo em vem
Passo 3
Prova de
Usamos primeiro a união de com :
Pelo caso de dois eventos,
e
então
Reunindo tudo:
que é exatamente a fórmula desejada.
Passo 4
Generalização para eventos.
O princípio de inclusão–exclusão diz que
Ou seja, alternamos soma de probabilidades de interseções de tamanho , subtraímos as de tamanho , somamos as de tamanho e assim por diante até .
Passo 5
Configuração para Bonferroni.
Definimos, para cada ,
Note que , , .
Passo 6
Provar as desigualdades ponto a ponto em
Verifica-se que
Logo para todo . Integrando isso,
Para a segunda desigualdade, consideramos
Checa-se que para todo vale . Integramos para obter
Resposta
(a)
P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B),
P(Acup Bcup C)=P(A)+P(B)+P(C) -P(Acap B)-P(Acap C)-P(Bcap C) +P(Acap Bcap C)
(b)
Pl(cupi=1^nAir) =sumk=1^n(-1)^k-1 sum1<= i1<cdots<ik<= n Pl(Ai1capcdotscap Aikr)