Demonstre as seguintes propriedades:
Se P(An)=0 para n=1,2, ldots, então P(cupn=1^infty An)=0.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se ;P(An)=0 para todo n=1,2,dots, então
Pl(cupn=1^infty Anr)=0
O conteúdo usado aqui é a propriedade de subaditividade (ou continuidade de baixo) de uma medida de probabilidade.

Passo 2

Pela subaditividade para medidas contamos que
Pl(cupn=1^infty Anr);<=;sumn=1^infty P(An)

Passo 3

Como cada P(An)=0, o lado direito fica
sumn=1^infty P(An)=sumn=1^infty 0 = 0,
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Pl(cupn=1^infty Anr)<= 0
Mas uma medida de probabilidade é sempre não-negativa, então
0 <= Pl(cupn=1^infty Anr)<= 0
implica
Pl(cupn=1^infty Anr)=0

Resposta

Pl(cupn=1^infty Anr)=0

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