Sejam A1, A2, ldots eventos aleatórios. Mostre que:
(a) P(capk=1^n Ak) >= 1-sumk=1^n P(Ak^c).
(b) Se P(Ak) >= 1-varepsilon para k=1, ldots, n, então P(capk=1^n Ak) >= 1-n varepsilon.
(c) P(capk=1^infty Ak) >= 1-sumk=1^infty P(Ak^c).

Passo 1

O enunciado pede desigualdades para a probabilidade da interseção de eventos usando a desigualdade de Boole (ou união limitada). Vamos precisar de dois fatos básicos de teoria de probabilidade:\r
1. Para qualquer evento B, vale P(B^c)=1-P(B).\r
2. Para quaisquer eventos E1,dots,Em vale a desigualdade de Boole\r

Passo 2

Para provar (a) note que\r
\r
pela lei de De Morgan. Aplicando a probabilidade e usando o fato de complementos,\r
\r
Em seguida usamos a desigualdade de Boole no termo que sobra:\r
\r
Logo\r
\r
que é exatamente o que se queria em (a).

Passo 3

Para (b) basta usar (a) e a hipótese P(Ak)>=1-varepsilon. Então\r
\r
e da parte (a)\r

Passo 4

Para (c) definimos os eventos\r
\r
Então C1supset C2supset C3supsetcdots é uma sequência decrescente de eventos e\r
\r
Pela continuidade de probabilidade de cima para baixo (já que P(C1)<=1<infty),\r
\r
Mas de (a) aplicado a cada Cn temos\r
\r
e, tomando limite ntoinfty,\r
\r
Logo\r
\r
que é a parte (c).

Resposta

(a) Pl(capk=1^nAkr)>=1-sumk=1^nPl(Ak^cr).\n(b) Pl(capk=1^nAkr)>=1-nvarepsilon.\n(c) Pl(capk=1^inftyAkr)>=1-sumk=1^inftyPl(Ak^cr).

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