Sejam
eventos aleatórios. Mostre que:
(a)
.
(b) Se
para
, então
.
(c)
.
(a)
(b) Se
(c)
Passo 1
O enunciado pede desigualdades para a probabilidade da interseção de eventos usando a desigualdade de Boole (ou união limitada). Vamos precisar de dois fatos básicos de teoria de probabilidade:\r
. Para qualquer evento
, vale
.\r
. Para quaisquer eventos
vale a desigualdade de Boole\r
Passo 2
Para provar (a) note que\r
\r
pela lei de De Morgan. Aplicando a probabilidade e usando o fato de complementos,\r
\r
Em seguida usamos a desigualdade de Boole no termo que sobra:\r
\r
Logo\r
\r
que é exatamente o que se queria em (a).
Passo 3
Para (b) basta usar (a) e a hipótese
. Então\r
\r
e da parte (a)\r
Passo 4
Para (c) definimos os eventos\r
\r
Então
é uma sequência decrescente de eventos e\r
\r
Pela continuidade de probabilidade de cima para baixo (já que
),\r
\r
Mas de (a) aplicado a cada
temos\r
\r
e, tomando limite
,\r
\r
Logo\r
\r
que é a parte (c).
Resposta
(a)
.\n(b)
.\n(c)
.