Sejam
e
variáveis com segundo momento finito. Mostre que:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a variância do produto de duas variáveis aleatórias
e
com segundo momento finito, assumindo que elas são independentes. O conteúdo envolvido é a definição de variância e as propriedades de esperança de variáveis independentes.
Passo 2
Pela definição, temos
Passo 3
Pela independência de
e
:
Passo 4
Sabemos também que
Passo 5
Substituindo em
:
Expandindo o produto:
Ao subtrair
, resta