Sejam X e Y variáveis com segundo momento finito. Mostre que:
\operatorname{Var}(X Y)=\sigma_{X}^{2} \sigma_{Y}^{2}+\mu_{X}^{2} \sigma_{Y}^{2}+\mu_{Y}^{2} \sigma_{X}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a variância do produto de duas variáveis aleatórias X e Y com segundo momento finito, assumindo que elas são independentes. O conteúdo envolvido é a definição de variância e as propriedades de esperança de variáveis independentes.

Passo 2

Pela definição, temos
\operatorname{Var}(XY)=\mathbb{E}\bigl[(XY)^2\bigr]-\bigl(\mathbb{E}[XY]\bigr)^2.

Passo 3

Pela independência de X e Y:
\mathbb{E}\bigl[(XY)^2\bigr]=\mathbb{E}[X^2Y^2]=\mathbb{E}[X^2]\,\mathbb{E}[Y^2],
\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}[X]\,\mathbb{E}[Y]=\mu_X\,\mu_Y.

Passo 4

Sabemos também que
\mathbb{E}[X^2]=\sigma_X^2+\mu_X^2, \quad \mathbb{E}[Y^2]=\sigma_Y^2+\mu_Y^2.

Passo 5

Substituindo em \operatorname{Var}(XY):
\operatorname{Var}(XY) =\bigl(\sigma_X^2+\mu_X^2\bigr)\bigl(\sigma_Y^2+\mu_Y^2\bigr) -(\mu_X\,\mu_Y)^2.
Expandindo o produto:
(\sigma_X^2+\mu_X^2)(\sigma_Y^2+\mu_Y^2) =\sigma_X^2\sigma_Y^2+\mu_X^2\sigma_Y^2+\mu_Y^2\sigma_X^2+\mu_X^2\mu_Y^2.
Ao subtrair \mu_X^2\mu_Y^2, resta
\operatorname{Var}(XY) =\sigma_X^2\sigma_Y^2+\mu_X^2\sigma_Y^2+\mu_Y^2\sigma_X^2.

Resposta

\operatorname{Var}(XY) =\sigma_{X}^{2}\,\sigma_{Y}^{2} +\mu_{X}^{2}\,\sigma_{Y}^{2} +\mu_{Y}^{2}\,\sigma_{X}^{2}.

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