Para estimar a integral M=\int_{0}^{1} f(x) d x utiliza-se T=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(X_{i}\right) como estimador, em que X_{1}, X_{2}, \cdots X_{n} são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, segundo o modelo Uniforme Contínuo em [0,1]. Mostre que temos E(T)=M e \operatorname{Var}(T)=\frac{1}{n} \int_{0}^{1}(f(x)-M)^{2} d x.

Passo 1

O enunciado define a estimativa
T = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} f(X_i)
para aproximar
M = \int_{0}^{1} f(x)\,dx,
onde X_1,\dots,X_n são i.i.d. segundo a lei Uniforme contínua em [0,1]. O que precisamos mostrar é que T é um estimador não viesado de M (ou seja, E(T)=M) e calcular sua variância \Var(T).

Passo 2

Para E(T), usamos a linearidade da esperança:
E(T) = E\Bigl(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} f(X_i)\Bigr) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} E\bigl(f(X_i)\bigr).
Como cada X_i é uniforme em [0,1],
E\bigl(f(X_i)\bigr) = \int_{0}^{1} f(x)\,dx = M.
Logo,
E(T) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} M = M.

Passo 3

Para \Var(T), usamos independência e a propriedade \Var(aY)=a^2\Var(Y):
\Var(T) = \Var\Bigl(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} f(X_i)\Bigr) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n} \Var\bigl(f(X_i)\bigr),
pois as variáveis são independentes. Como todas têm a mesma distribuição,
\Var(T) = \frac{n}{n^2}\Var\bigl(f(X_1)\bigr) = \frac{1}{n}\Var\bigl(f(X_1)\bigr).
E por definição de variância de variável contínua,
\Var\bigl(f(X_1)\bigr) = \int_{0}^{1}\bigl(f(x)-E(f(X_1))\bigr)^{2}dx = \int_{0}^{1}\bigl(f(x)-M\bigr)^{2}dx.
Portanto,
\Var(T) = \frac{1}{n}\int_{0}^{1}\bigl(f(x)-M\bigr)^{2}dx.

Resposta

E(T)=M
\displaystyle \Var(T)=\frac{1}{n}\int_{0}^{1}\bigl(f(x)-M\bigr)^{2}dx

Exercícios de Livros Relacionados