Suponha que
envelopes estão endereçados, mas as
respectivas cartas são colocadas aleatoriamente nesses envelopes. Determine o número esperado de cartas enviadas ao destinatário correto.
Passo 1
O enunciado diz que temos
envelopes cada um com um destinatário distinto, mas as
cartas são distribuídas de forma aleatória entre eles. Queremos o número esperado de cartas que caem no envelope certo. O conteúdo principal aqui é usar variáveis indicadoras e a linearidade da esperança em permutações aleatórias.
Passo 2
Para cada
ficar no envelope
,}\ 0,&caso contrário. \end{cases}]
Claramente, o total de acertos é
Como cada carta tem probabilidade igual de cair em qualquer envelope,
pois numa permutação aleatória a chance de fixar o ponto
é
.
Passo 3
Pela linearidade da esperança, mesmo sem independência, vale
E como
, temos
Resposta
O número esperado de cartas que caem em seu respectivo envelope é
.