Suponha que n envelopes estão endereçados, mas as n respectivas cartas são colocadas aleatoriamente nesses envelopes. Determine o número esperado de cartas enviadas ao destinatário correto.

Passo 1

O enunciado diz que temos n envelopes cada um com um destinatário distinto, mas as n cartas são distribuídas de forma aleatória entre eles. Queremos o número esperado de cartas que caem no envelope certo. O conteúdo principal aqui é usar variáveis indicadoras e a linearidade da esperança em permutações aleatórias.

Passo 2

Para cada i=1,2,\dots,n\), defina a variável indicadora \[X_i = \begin{cases} 1,&\text{se a carta \(i ficar no envelope i,}\ 0,&caso contrário. \end{cases}]
Claramente, o total de acertos é
X = \sum_{i=1}^n X_i.
Como cada carta tem probabilidade igual de cair em qualquer envelope,
P(X_i=1)=\frac{1}{n},
pois numa permutação aleatória a chance de fixar o ponto i é 1/n.

Passo 3

Pela linearidade da esperança, mesmo sem independência, vale
E[X] = \sum_{i=1}^n E[X_i].
E como E[X_i]=1\cdot P(X_i=1)+0\cdot P(X_i=0)=1/n, temos
E[X] = \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} = n\cdot\frac{1}{n} = 1.

Resposta

O número esperado de cartas que caem em seu respectivo envelope é 1.

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