Suponha que a ocorrência ou não de chuva dependa das condições do tempo no dia imediatamente anterior. Admita-se que se chove hoje, choverá amanhã com probabilidade 0,7 e que se não chove hoje choverá amanhã com probabilidade 0,4 . Sabendo-se que choveu hoje, calcule a probabilidade de que choverá depois de amanhã.

Passo 1

O enunciado descreve um processo de tempo onde a chance de chover amanhã depende apenas de ter chovido ou não hoje. Isso é um exemplo clássico de cadeia de Markov de primeira ordem. Queremos calcular a probabilidade de que choverá depois de amanhã, dado que choveu hoje.

Passo 2

Vamos identificar os estados e as probabilidades de transição. Denotemos por
R o estado “chove” e por N o estado “não chove”. As probabilidades de passar de um estado hoje para outro amanhã são:
P(Rto R) = 0,7, P(Rto N) = 0,3,
P(Nto R) = 0,4, P(Nto N) = 0,6

Passo 3

Para achar a probabilidade de chover depois de amanhã dado que choveu hoje, calculamos
P(X2=Rmid X0=R)
onde Xk é o estado no dia k. Usamos a lei da probabilidade total via o estado intermediário X1:
P(X2=Rmid X0=R) = sumsinR,N P(X1=smid X0=R), P(X2=Rmid X1=s)

Passo 4

Substituindo os valores:
P(X2=Rmid X0=R) = P(RtoR)cdot P(RtoR) + P(RtoN)cdot P(NtoR)
= 0,7 times 0,7 + 0,3 times 0,4 = 0,49 + 0,12 = 0,61

Resposta

A probabilidade de chover depois de amanhã, sabendo que choveu hoje, é 0,61.

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