Às vezes, para gerar números aleatórios com distribuição Normal padrão usa-se a expressão:
\mathrm{Z}=\sum_{\mathrm{i}=1}^{12} \mathrm{U}_{\mathrm{i}}-6
onde \mathrm{U}_{1}, \mathrm{U}_{2}, \ldots, \mathrm{U}_{12} é uma amostra aleatória da distribuição Uniforme no intervalo [0,1].
Por que a distribuição da variável aleatória Z se aproxima de uma Normal padrão?

Passo 1

O enunciado define
Z = \sum_{i=1}^{12} U_i \;-\; 6
onde U_1,\dots,U_{12} são variáveis independentes e identicamente distribuídas como \mathrm{Uniforme}(0,1).
O conteúdo principal aqui é o Teorema Central do Limite (TCL), que explica por que somas de muitas variáveis independentes tendem a ter distribuição aproximadamente Normal.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a esperança e a variância de cada U_i. Para uma \mathrm{Uniforme}(0,1) vale
\mathbb{E}[U_i] = \tfrac{1}{2}, \quad \mathrm{Var}(U_i) = \tfrac{1}{12}.
Como os U_i são independentes, a soma
S = \sum_{i=1}^{12} U_i
tem esperança e variância dadas por
\mathbb{E}[S] = 12 \cdot \tfrac{1}{2} = 6, \quad \mathrm{Var}(S) = 12 \cdot \tfrac{1}{12} = 1.

Passo 3

Definindo
Z = S - 6,
vemos que \mathbb{E}[Z]=0 e \mathrm{Var}(Z)=1. Pelo Teorema Central do Limite, quando somamos um número “grande” de variáveis independentes e com variância finita, a distribuição da soma (adequadamente centrada e escalada) converge em distribuição para uma Normal padrão \mathcal{N}(0,1). Aqui escolhemos n=12, que já dá uma boa aproximação prática à curva Normal.

Passo 4

Portanto, a razão pela qual Z se aproxima de uma Normal padrão é justamente o Teorema Central do Limite aplicado à soma das 12 variáveis U_i.

Resposta

A distribuição de Z se aproxima de \mathcal{N}(0,1) por causa do Teorema Central do Limite, já que Z é a soma de 12 variáveis independentes Uniforme (0,1), centrada e com variância unitária.

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