Às vezes, para gerar números aleatórios com distribuição Normal padrão usa-se a expressão:
onde
é uma amostra aleatória da distribuição Uniforme no intervalo
.
Por que a distribuição da variável aleatória Z se aproxima de uma Normal padrão?
Por que a distribuição da variável aleatória Z se aproxima de uma Normal padrão?
Passo 1
O enunciado define
onde
são variáveis independentes e identicamente distribuídas como
.
O conteúdo principal aqui é o Teorema Central do Limite (TCL), que explica por que somas de muitas variáveis independentes tendem a ter distribuição aproximadamente Normal.
O conteúdo principal aqui é o Teorema Central do Limite (TCL), que explica por que somas de muitas variáveis independentes tendem a ter distribuição aproximadamente Normal.
Passo 2
Primeiro vamos calcular a esperança e a variância de cada
. Para uma
vale
Como os
são independentes, a soma
tem esperança e variância dadas por
Passo 3
Definindo
vemos que
e
. Pelo Teorema Central do Limite, quando somamos um número “grande” de variáveis independentes e com variância finita, a distribuição da soma (adequadamente centrada e escalada) converge em distribuição para uma Normal padrão
. Aqui escolhemos
, que já dá uma boa aproximação prática à curva Normal.
Passo 4
Portanto, a razão pela qual
se aproxima de uma Normal padrão é justamente o Teorema Central do Limite aplicado à soma das
variáveis
.
Resposta
A distribuição de
se aproxima de
por causa do Teorema Central do Limite, já que
é a soma de
variáveis independentes Uniforme
, centrada e com variância unitária.