PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
2a LISTA DE EXERCÍCIOS ( CAP. II )
A v.a. X tem uma função densidade de probabilidade dada por:
f(x)= & llll ax & ; & 0 <= x <= 1 & & llla(x+1) & ; & 1 <= x <= 2 & & 0 & ; & cc & Determine: a) o valor de a ; b) F(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma v.a. contínua X cuja densidade é dada em dois pedaços:
f(x)= a,x, & 0<= x<=1, a,(x+1), & 1<= x<=2, 0, & caso contrário á
Conteúdo: Probabilidade contínua e função densidade de probabilidade (pdf) e função de distribuição acumulada (CDF).
O que precisamos:
  1. A constante de normalização tal que .
  2. A CDF , escrita em pedaços.

Passo 2

Encontrar integral-infty^inftyf(x),dx = 1 pela condição de normalização.
Teoria básica: para uma pdf contínua integral0^1 a,x,dx ;+;integral1^2 a,(x+1),dx ;=;1 , deve valer
a;12 ;+; a,(2.5) ;=; a,(0.5+2.5) ;=; acdot3 ;=;1 Longrightarrow a = 13
Aqui a integral só ocorre de 0 a 2 (fora disso ). Então:
Calculemos cada parte:
Somando:

Passo 3

Agora montamos a CDF F(x)=integral0^x 13,t,dt =13,t^22|0^x =x^26 . Vai ficar em quatro pedaços:
  1. Se F(x) =underbraceintegral0^1 13t,dt1/6 ;+;integral1^x 13(t+1),dt = 16 +13l(t^22+tr)|1^x , 13l[l(tfracx^22+xr)-l(tfrac12+1r)r] =13l(x^22+x-1.5r) =x^26+x3-12 .
  2. Se F(x)=16+x^26+x3-12 =x^2+2x-26 , integramos só de 0 a :
  1. Se , nós já acumulamos a parte de 0 a 1 (que vale ) mais a parte de 1 até :
Calcule a segunda integral:
Somando o :
  1. Se , .

Resposta

F(x)= 0, & x<0, x^26, & 0<= x<=1, x^2 +2x -26, & 1<= x<=2, 1, & x>2

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