PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
2a LISTA DE EXERCÍCIOS ( CAP. II )
Em relação ao problema 8 (Suponha que duas canetas sejam retiradas uma de cada vez, sem reposição, de uma gaveta contendo 4 canetas azuis e 3 pretas. Seja a v.a. X a quantidade de canetas azuis retiradas e Y a quantidade de canetas pretas retiradas da gaveta.), determine:
e) Se X e Y são independentes? Justifique a sua resposta.
2a LISTA DE EXERCÍCIOS ( CAP. II )
Em relação ao problema 8 (Suponha que duas canetas sejam retiradas uma de cada vez, sem reposição, de uma gaveta contendo 4 canetas azuis e 3 pretas. Seja a v.a. X a quantidade de canetas azuis retiradas e Y a quantidade de canetas pretas retiradas da gaveta.), determine:
e) Se X e Y são independentes? Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, então o enunciado é o seguinte: a gente tira duas canetas, uma de cada vez, sem repor, de uma gaveta que tem 4 canetas azuis e 3 pretas. Define-se X = número de canetas azuis retiradas e Y = número de canetas pretas retiradas. A questão e) pede: “X e Y são independentes? Justifique.”
Conteúdo envolvido: Probabilidade clássica (sem reposição) e o conceito de independência de variáveis aleatórias. A gente vai precisar calcular probabilidades marginais (de X e de Y) e alguma probabilidade conjunta, comparando com o produto das marginais.
Conteúdo envolvido: Probabilidade clássica (sem reposição) e o conceito de independência de variáveis aleatórias. A gente vai precisar calcular probabilidades marginais (de X e de Y) e alguma probabilidade conjunta, comparando com o produto das marginais.
Passo 2
Antes de mais nada, o que significa “X e Y são independentes”?
Independência quer dizer que, para todo par de valores x e y possíveis,
Independência quer dizer que, para todo par de valores x e y possíveis,
Se encontrar algum par (x,y) para o qual isso não vale, já deu: não são independentes.
Passo 3
Vamos escolher um par simples, por exemplo x=0 e y=0.
– Primeiro, qual é o suporte de (X,Y)? Se você tira 2 canetas, ou sai 0,1 ou 2 azuis. Mas como X+Y=2, quando X=0 tem que vir Y=2; e quando Y=0 tem X=2. Então, na verdade, o par (X=0,Y=0) tem probabilidade conjunta zero, porque não dá pra tirar zero azuis e zero pretas num total de duas retiradas.
– Primeiro, qual é o suporte de (X,Y)? Se você tira 2 canetas, ou sai 0,1 ou 2 azuis. Mas como X+Y=2, quando X=0 tem que vir Y=2; e quando Y=0 tem X=2. Então, na verdade, o par (X=0,Y=0) tem probabilidade conjunta zero, porque não dá pra tirar zero azuis e zero pretas num total de duas retiradas.
Passo 4
Agora as marginais:
-
P(X=0): probabilidade de tirar 0 azuis (ou seja, as duas pretas).
Número de jeitos de pegar 2 pretas em 3:.
Total de jeitos de pegar 2 canetas em 7:.
Então -
P(Y=0): probabilidade de tirar 0 pretas (ou seja, as duas azuis).
Agora o produto
Passo 5
Comparemos:
Logo, não bate a igualdade exigida para independência.
Resposta
X e Y NÃO são independentes, pois encontramos um par (x=0,y=0) tal que