PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
2a LISTA DE EXERCÍCIOS ( CAP. II )
Em relação ao problema 8 (Suponha que duas canetas sejam retiradas uma de cada vez, sem reposição, de uma gaveta contendo 4 canetas azuis e 3 pretas. Seja a v.a. X a quantidade de canetas azuis retiradas e Y a quantidade de canetas pretas retiradas da gaveta.), determine:
e) Se X e Y são independentes? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, então o enunciado é o seguinte: a gente tira duas canetas, uma de cada vez, sem repor, de uma gaveta que tem 4 canetas azuis e 3 pretas. Define-se X = número de canetas azuis retiradas e Y = número de canetas pretas retiradas. A questão e) pede: “X e Y são independentes? Justifique.”
Conteúdo envolvido: Probabilidade clássica (sem reposição) e o conceito de independência de variáveis aleatórias. A gente vai precisar calcular probabilidades marginais (de X e de Y) e alguma probabilidade conjunta, comparando com o produto das marginais.

Passo 2

Antes de mais nada, o que significa “X e Y são independentes”?
Independência quer dizer que, para todo par de valores x e y possíveis,
P(X = x,;Y = y) ;=; P(X = x);times;P(Y = y)
Se encontrar algum par (x,y) para o qual isso não vale, já deu: não são independentes.

Passo 3

Vamos escolher um par simples, por exemplo x=0 e y=0.
– Primeiro, qual é o suporte de (X,Y)? Se você tira 2 canetas, ou sai 0,1 ou 2 azuis. Mas como X+Y=2, quando X=0 tem que vir Y=2; e quando Y=0 tem X=2. Então, na verdade, o par (X=0,Y=0) tem probabilidade conjunta zero, porque não dá pra tirar zero azuis e zero pretas num total de duas retiradas.
P(X=0,;Y=0);=;0

Passo 4

Agora as marginais:
  1. P(X=0): probabilidade de tirar 0 azuis (ou seja, as duas pretas).
    Número de jeitos de pegar 2 pretas em 3: P(X=0);=;binom32binom72 ;=;321 ;=;17.
    Total de jeitos de pegar 2 canetas em 7: P(Y=0);=;binom42binom72 ;=;621 ;=;27.
    Então
    P(X=0)times P(Y=0) ;=;17times27 ;=;249
  2. P(Y=0): probabilidade de tirar 0 pretas (ou seja, as duas azuis).
Agora o produto

Passo 5

Comparemos:
P(X=0,Y=0)=0 e P(X=0),P(Y=0)=tfrac249neq 0
Logo, não bate a igualdade exigida para independência.

Resposta

X e Y NÃO são independentes, pois encontramos um par (x=0,y=0) tal que
P(X=0,Y=0)neq P(X=0),P(Y=0)

Exercícios relacionados