- Em uma célula unitária de estrutura CFC (Cúbica de Face Centrada) de um metal com raio atômico
, calcule:
a) O volume da célula unitária.
b) O volume efetivamente ocupado pelos átomos.
c) O volume vazio (não ocupado) dentro da célula unitária.
Dicas:
- Volume vazio (não ocupado)
- O volume da esfera é:
Apresente todos os cálculos e expressões utilizadas.
a) O volume da célula unitária.
b) O volume efetivamente ocupado pelos átomos.
c) O volume vazio (não ocupado) dentro da célula unitária.
Passo 1
O enunciado dá o raio atômico da estrutura CFC:
. Pede três coisas:
- (a) o volume da célula unitária
; - (b) o volume efetivamente ocupado pelos átomos dentro da célula
; - (c) o volume vazio dentro da célula
.
Informações úteis que vamos usar (explicadas e derivadas nos passos seguintes):
- Na rede CFC os átomos se tocam ao longo da diagonal da face; daí vem a relação entre parâmetro de rede
e raio atômico . - Uma célula CFC contém efetivamente 4 átomos (contagem por frações de posição).
- Volume de uma esfera (átomo aproximado por esfera) é
.
Passo 2
Relação entre o parâmetro de rede
e o raio atômico
para CFC (explicação passo a passo):
- Na face do cubo, dois átomos de face e um canto se alinham ao longo da diagonal da face; a distância ao longo dessa diagonal corresponde a quatro raios atômicos (do centro de um átomo de face até o centro do outro átomo de face passam 4 raios): isso dá
- A diagonal da face também é
(geometria do quadrado de lado ). - Igualando:
Podemos simplificar numericamente com
:
Agora o valor numérico (aprox.):
Passo 3
Volume da célula unitária (a resposta da alínea a). Fórmula e dedução:
- A célula é um cubo de aresta
, portanto
- Usando a expressão em função de
:
- Substituindo
. Observação útil: , então . Assim podemos simplificar:
- Valor numérico:
- Se for necessária a unidade SI em metros cúbicos, lembre que
. Assim
Passo 4
Quantidade de átomos por célula e volume efetivamente ocupado (alínea b) — explicação didática:
- Contagem de átomos em CFC:
- 8 átomos nos cantos, cada um pertence a 8 células vizinhas → contribuição total
. - 6 átomos nas faces, cada um pertence a 2 células vizinhas → contribuição total
. - Soma:
átomos efetivos por célula unitária.
- 8 átomos nos cantos, cada um pertence a 8 células vizinhas → contribuição total
- Volume ocupado por um átomo (aproximado por esfera):
- Volume total ocupado na célula:
- Com
temos , então
- Valor numérico:
- Em unidades SI:
Passo 5
Volume vazio dentro da célula (alínea c) — cálculo e interpretação final:
- Usando a dica do enunciado,
- Usando as expressões exatas obtidas:
- Valor numérico:
- Em unidades SI:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)