1. Em uma célula unitária de estrutura CFC (Cúbica de Face Centrada) de um metal com raio atômico \mathrm{R}=0,125 \mathrm{~nm}, calcule:
    a) O volume da célula unitária.
    b) O volume efetivamente ocupado pelos átomos.
    c) O volume vazio (não ocupado) dentro da célula unitária.

Dicas:

  • Volume vazio (não ocupado) \quad V_{\text {vazio }}=V_{\text {célula }}-V_{\text {ocupado }}é
  • O volume da esfera é: V=\frac{4}{3} \pi R^{3}
Apresente todos os cálculos e expressões utilizadas.

Passo 1

O enunciado dá o raio atômico da estrutura CFC: \,R=0,125\\ \mathrm{nm}\,. Pede três coisas:
  • (a) o volume da célula unitária \,V_{\text{célula}}\,é;
  • (b) o volume efetivamente ocupado pelos átomos dentro da célula \,V_{\text{ocupado}}\,;
  • (c) o volume vazio dentro da célula \,V_{\text{vazio}}=V_{\text{célula}}-V_{\text{ocupado}}\,é.
Informações úteis que vamos usar (explicadas e derivadas nos passos seguintes):
  • Na rede CFC os átomos se tocam ao longo da diagonal da face; daí vem a relação entre parâmetro de rede \,a\, e raio atômico \,R.
  • Uma célula CFC contém efetivamente 4 átomos (contagem por frações de posição).
  • Volume de uma esfera (átomo aproximado por esfera) é \displaystyle V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi R^{3}.

Passo 2

Relação entre o parâmetro de rede \,a\, e o raio atômico \,R para CFC (explicação passo a passo):
  • Na face do cubo, dois átomos de face e um canto se alinham ao longo da diagonal da face; a distância ao longo dessa diagonal corresponde a quatro raios atômicos (do centro de um átomo de face até o centro do outro átomo de face passam 4 raios): isso dá
\text{diagonal da face} = 4R.
  • A diagonal da face também é \,a\sqrt{2}\, (geometria do quadrado de lado \,a).
  • Igualando:
a\sqrt{2}=4R \quad\Rightarrow\quad a=\frac{4R}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,R.
Podemos simplificar numericamente com R=0,125\\ \mathrm{nm}:
a=2\sqrt{2}\times 0,125\\ \mathrm{nm}=\frac{\sqrt{2}}{4}\\ \mathrm{nm}.
Agora o valor numérico (aprox.):
a\approx 0,353553\\ \mathrm{nm}.

Passo 3

Volume da célula unitária (a resposta da alínea a). Fórmula e dedução:
  • A célula é um cubo de aresta \,a, portanto
V_{\text{célula}}=a^{3}.é
  • Usando a expressão em função de \,R:
a^{3}=(2\sqrt{2}\,R)^{3}=16\sqrt{2}\,R^{3}.
  • Substituindo R=0,125\\ \mathrm{nm}. Observação útil: R=0,125=\tfrac{1}{8}, então R^{3}=\tfrac{1}{512}. Assim podemos simplificar:
V_{\text{célula}}=16\sqrt{2}\cdot\frac{1}{512}=\frac{\sqrt{2}}{32}\\ \mathrm{nm^{3}}.é
  • Valor numérico:
V_{\text{célula}}\approx 0,04419\\ \mathrm{nm^{3}}.é
  • Se for necessária a unidade SI em metros cúbicos, lembre que 1\\ \mathrm{nm^{3}}=10^{-27}\\ \mathrm{m^{3}}. Assim
V_{\text{célula}}\approx 0,04419\times 10^{-27}\\ \mathrm{m^{3}}=4,419\times 10^{-29}\\ \mathrm{m^{3}}.é

Passo 4

Quantidade de átomos por célula e volume efetivamente ocupado (alínea b) — explicação didática:
  • Contagem de átomos em CFC:
    • 8 átomos nos cantos, cada um pertence a 8 células vizinhas → contribuição total 8\times\frac{1}{8}=1.
    • 6 átomos nas faces, cada um pertence a 2 células vizinhas → contribuição total 6\times\frac{1}{2}=3.
    • Soma: 1+3=4 átomos efetivos por célula unitária.
  • Volume ocupado por um átomo (aproximado por esfera):
V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi R^{3}.
  • Volume total ocupado na célula:
V_{\text{ocupado}}=4\cdot V_{\text{esfera}}=4\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{16}{3}\pi R^{3}.
  • Com R=\tfrac{1}{8}\\ \mathrm{nm} temos R^{3}=\tfrac{1}{512}, então
V_{\text{ocupado}}=\frac{16}{3}\pi\cdot\frac{1}{512}=\frac{\pi}{96}\\ \mathrm{nm^{3}}.
  • Valor numérico:
V_{\text{ocupado}}\approx 0,03272\\ \mathrm{nm^{3}}.
  • Em unidades SI:
V_{\text{ocupado}}\approx 0,03272\times 10^{-27}\\ \mathrm{m^{3}}=3,272\times 10^{-29}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 5

Volume vazio dentro da célula (alínea c) — cálculo e interpretação final:
  • Usando a dica do enunciado,
V_{\text{vazio}}=V_{\text{célula}}-V_{\text{ocupado}}.é
  • Usando as expressões exatas obtidas:
V_{\text{vazio}}=\frac{\sqrt{2}}{32}-\frac{\pi}{96}=\frac{3\sqrt{2}-\pi}{96}\\ \mathrm{nm^{3}}.
  • Valor numérico:
V_{\text{vazio}}\approx 0,01147\\ \mathrm{nm^{3}}.
  • Em unidades SI:
V_{\text{vazio}}\approx 0,01147\times 10^{-27}\\ \mathrm{m^{3}}=1,147\times 10^{-29}\\ \mathrm{m^{3}}.

Resposta

(a) V_{\text{célula}}=\dfrac{\sqrt{2}}{32}\\ \mathrm{nm^{3}}\approx 0,04419\\ \mathrm{nm^{3}} \;=\;4,419\times10^{-29}\\ \mathrm{m^{3}}é
(b) V_{\text{ocupado}}=\dfrac{\pi}{96}\\ \mathrm{nm^{3}}\approx 0,03272\\ \mathrm{nm^{3}} \;=\;3,272\times10^{-29}\\ \mathrm{m^{3}}
(c) V_{\text{vazio}}=\dfrac{3\sqrt{2}-\pi}{96}\\ \mathrm{nm^{3}}\approx 0,01147\\ \mathrm{nm^{3}} \;=\;1,147\times10^{-29}\\ \mathrm{m^{3}}

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