(deGroot) Suponha que uma moeda justa (probabilidade de cara igual a 1 / 2 ) seja lançada independentemente 10 vezes. Encontre a probabilidade de que sejam obtidas estritamente mais caras do que coroas.

Passo 1

O enunciado dá que uma moeda é justa (probabilidade de cara igual a \tfrac{1}{2}) e é lançada independentemente \,10 vezes. Pede a probabilidade de obter estritamente mais caras do que coroas.
Informações relevantes:
  • Número de lançamentos: \,10.
  • Cada lançamento tem apenas duas possibilidades: cara ou coroa, com probabilidade \tfrac{1}{2} cada.
  • Queremos: probabilidade de o número de caras ser maior que o número de coroas.

Passo 2

Vamos traduzir “mais caras do que coroas” em termos do número de caras. Se chamarmos por H o número de caras em \,10 lançamentos, então H pode ser 0,1,2,\dots,10 e sempre vale H+ coroas =10. “Estritamente mais caras do que coroas” significa
H>\text{coroas} \quad\Longrightarrow\quad H>10-H \quad\Longrightarrow\quad H>5.
Portanto os valores possíveis de H que satisfazem o pedido são H=6,7,8,9,10.

Passo 3

Cada probabilidade de exatamente k caras é dada pela distribuição binomial:
\Pr(H=k)=\binom{10}{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{10},
onde \binom{10}{k} é o coeficiente binomial que conta de quantas formas diferentes podem ocorrer exatamente k caras em 10 lançamentos. Assim a probabilidade pedida é
\Pr(H>5)=\sum_{k=6}^{10}\binom{10}{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}.

Passo 4

Para simplificar o cálculo usamos simetria: como a moeda é justa, as probabilidades de H>5 e de H<5 são iguais. Além disso
\Pr(H>5)+\Pr(H=5)+\Pr(H<5)=1.
Pela simetria \Pr(H>5)=\Pr(H<5), logo
\Pr(H>5)=\frac{1-\Pr(H=5)}{2}.
Isso evita somar cinco termos diferentes.

Passo 5

Calculemos \Pr(H=5). Usando a fórmula binomial:
\Pr(H=5)=\binom{10}{5}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{10}.
O coeficiente \binom{10}{5} é
\binom{10}{5}=\frac{10!}{5!\,5!}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=252.
Portanto
\Pr(H=5)=\frac{252}{2^{10}}=\frac{252}{1024}=\frac{63}{256}.

Passo 6

Substituindo em \Pr(H>5)=\dfrac{1-\Pr(H=5)}{2} obtemos
\Pr(H>5)=\frac{1-\dfrac{63}{256}}{2}=\frac{\dfrac{256-63}{256}}{2}=\frac{193}{512}.
Em forma decimal aproximada isso é
\Pr(H>5)\approx 0,37695.

Resposta

\dfrac{193}{512}

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