(deGroot) Suponha que uma moeda justa (probabilidade de cara igual a
) seja lançada independentemente 10 vezes. Encontre a probabilidade de que sejam obtidas estritamente mais caras do que coroas.
Passo 1
O enunciado dá que uma moeda é justa (probabilidade de cara igual a
) e é lançada independentemente
vezes. Pede a probabilidade de obter estritamente mais caras do que coroas.
Informações relevantes:
- Número de lançamentos:
. - Cada lançamento tem apenas duas possibilidades: cara ou coroa, com probabilidade
cada. - Queremos: probabilidade de o número de caras ser maior que o número de coroas.
Passo 2
Vamos traduzir “mais caras do que coroas” em termos do número de caras. Se chamarmos por
o número de caras em
lançamentos, então
pode ser
e sempre vale
coroas
. “Estritamente mais caras do que coroas” significa
Portanto os valores possíveis de
que satisfazem o pedido são
.
Passo 3
Cada probabilidade de exatamente
caras é dada pela distribuição binomial:
onde
é o coeficiente binomial que conta de quantas formas diferentes podem ocorrer exatamente
caras em
lançamentos. Assim a probabilidade pedida é
Passo 4
Para simplificar o cálculo usamos simetria: como a moeda é justa, as probabilidades de
e de
são iguais. Além disso
Pela simetria
, logo
Isso evita somar cinco termos diferentes.
Passo 5
Calculemos
. Usando a fórmula binomial:
O coeficiente
é
Portanto
Passo 6
Substituindo em
obtemos
Em forma decimal aproximada isso é