Em probabilidade temos três teoremas principais (Soma, Produto e Bayes). Faça as ligações correspondentes dos teoremas com seus respectivos subtipos: (1 ponto)
a) Teorema de Soma
b) Teorema de Produto
c) Teorema de Bayes
a) Teorema de Soma
b) Teorema de Produto
c) Teorema de Bayes
Passo 1
O enunciado pede para ligar cada teorema (Soma, Produto, Bayes) aos seus subtipos correspondentes. Vou listar primeiro os subtipos comuns que normalmente aparecem em exercícios — assim fica claro o que vamos associar a cada teorema. Os subtipos que vou usar são:
- Subtipo (I): Regra da adição para eventos mutuamente exclusivos:
- Subtipo (II): Regra geral da adição (dois eventos):
- Subtipo (III): Extensão (inclusão–exclusão) para três ou mais eventos (forma geral):
- Subtipo (IV): Regra do produto geral (com condicional):
- Subtipo (V): Regra do produto para eventos independentes:
- Subtipo (VI): Teorema de Bayes (forma básica):
- Subtipo (VII): Teorema de Bayes com partição (usando a probabilidade total no denominador):
Agora que listei os subtipos, vou explicar cada teorema e mostrar por que cada subtipo pertence a ele.
Passo 2
Explicando o Teorema da Soma e por que os subtipos (I), (II) e (III) pertencem a ele.
- O objetivo do “Teorema da Soma” é calcular a probabilidade da união de eventos (isto é, a probabilidade de que pelo menos um dos eventos ocorra).
- Subtipo (I): quando dois eventos são mutuamente exclusivos (disjuntos), eles não ocorrem juntos, logo
. Substituindo isso na regra geral chega-se a
que é exatamente (I).
- Subtipo (II): a regra geral para a união de dois eventos corrige a dupla contagem da interseção quando somamos
e . Por isso
que é (II).
- Subtipo (III): quando há três ou mais eventos a correção por dupla, tripla interseção etc. leva à fórmula de inclusão–exclusão — é a extensão natural do mesmo princípio (não duplicar contagens). Portanto (III) também é um subtipo do teorema da soma.
Em palavras: tudo que serve para somar probabilidades de uniões (com correções quando necessário) pertence ao teorema da soma.
Passo 3
Explicando o Teorema do Produto e por que os subtipos (IV) e (V) pertencem a ele.
- O objetivo do “Teorema do Produto” é calcular a probabilidade da interseção de eventos (isto é, a probabilidade de que todos ocorram ao mesmo tempo).
- Subtipo (IV): a regra geral vem direto da definição de probabilidade condicional. A probabilidade condicional de
dado é
Multiplicando os dois lados por
obtemos
que é exatamente (IV).
- Subtipo (V): se
e são independentes, a ocorrência de não altera a probabilidade de , isto é . Substituindo em (IV) chega-se a
que é (V).
Em palavras: tudo que dá probabilidade de interseção (multiplicando probabilidades e condicionais) é do teorema do produto.
Passo 4
Explicando o Teorema de Bayes e por que os subtipos (VI) e (VII) pertencem a ele — e como derivar.
- Bayes fornece uma forma de “inverter” condicionais: a partir de
, e podemos obter . Começa-se com a regra do produto (Passo 3):
- Isolando
obtemos a forma básica do Teorema de Bayes, que é Subtipo (VI):
Aqui
é chamado de priori (probabilidade antes de observar
),
é a verossimilhança,
é a posteriori, e
é a evidência.
- Subtipo (VII): frequentemente
pode ocorrer por várias causas mutuamente exclusivas que formam uma partição do espaço amostral. Então usamos a probabilidade total para escrever
e substituímos no denominador de (VI) para obter a forma de Bayes com partição:
que é (VII).
Em palavras: Bayes transforma informações na direção
→
, e quando há várias hipóteses concorrentes utiliza a probabilidade total no denominador.
Passo 5
Pequenos exemplos rápidos (para fixar) — sem calcular demais, só intuição:
- Soma: se dois eventos não podem ocorrer juntos (ex.: tirar 1 ou 2 em um dado e os dois são mutuamente exclusivos), somamos as probabilidades. Se podem ocorrer juntos, subtrai-se a interseção.
- Produto: para calcular a probabilidade de tirar cara em duas moedas consecutivas independentes, multiplica-se
. Se o segundo evento depende do primeiro, usa-se a condicional. - Bayes: em teste diagnóstico: se se conhece a sensibilidade
e a prevalência , Bayes dá .
Resposta
a) Teorema de Soma — Subtipos (I), (II) e (III)
b) Teorema de Produto — Subtipos (IV) e (V)
c) Teorema de Bayes — Subtipos (VI) e (VII)
b) Teorema de Produto — Subtipos (IV) e (V)
c) Teorema de Bayes — Subtipos (VI) e (VII)