Em probabilidade temos três teoremas principais (Soma, Produto e Bayes). Faça as ligações correspondentes dos teoremas com seus respectivos subtipos: (1 ponto)
a) Teorema de Soma
b) Teorema de Produto
c) Teorema de Bayes

Passo 1

O enunciado pede para ligar cada teorema (Soma, Produto, Bayes) aos seus subtipos correspondentes. Vou listar primeiro os subtipos comuns que normalmente aparecem em exercícios — assim fica claro o que vamos associar a cada teorema. Os subtipos que vou usar são:
  • Subtipo (I): Regra da adição para eventos mutuamente exclusivos:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)\,.
  • Subtipo (II): Regra geral da adição (dois eventos):
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\,.
  • Subtipo (III): Extensão (inclusão–exclusão) para três ou mais eventos (forma geral):
P\Big(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\Big)=\sum_i P(A_i)-\sum_{i<j}P(A_i\cap A_j)+\sum_{i<j<k}P(A_i\cap A_j\cap A_k)-\cdots
  • Subtipo (IV): Regra do produto geral (com condicional):
P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A)
  • Subtipo (V): Regra do produto para eventos independentes:
P(A\cap B)=P(A)\,P(B)\quad\text{(se \(A\) e \(B\) são independentes)}ã
  • Subtipo (VI): Teorema de Bayes (forma básica):
P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}
  • Subtipo (VII): Teorema de Bayes com partição (usando a probabilidade total no denominador):
P(A_i\mid B)=\frac{P(B\mid A_i)\,P(A_i)}{\sum_j P(B\mid A_j)\,P(A_j)}
Agora que listei os subtipos, vou explicar cada teorema e mostrar por que cada subtipo pertence a ele.

Passo 2

Explicando o Teorema da Soma e por que os subtipos (I), (II) e (III) pertencem a ele.
  • O objetivo do “Teorema da Soma” é calcular a probabilidade da união de eventos (isto é, a probabilidade de que pelo menos um dos eventos ocorra).
  • Subtipo (I): quando dois eventos são mutuamente exclusivos (disjuntos), eles não ocorrem juntos, logo P(A\cap B)=0. Substituindo isso na regra geral chega-se a
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-0=P(A)+P(B),
que é exatamente (I).
  • Subtipo (II): a regra geral para a união de dois eventos corrige a dupla contagem da interseção quando somamos P(A) e P(B). Por isso
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B),
que é (II).
  • Subtipo (III): quando há três ou mais eventos a correção por dupla, tripla interseção etc. leva à fórmula de inclusão–exclusão — é a extensão natural do mesmo princípio (não duplicar contagens). Portanto (III) também é um subtipo do teorema da soma.
Em palavras: tudo que serve para somar probabilidades de uniões (com correções quando necessário) pertence ao teorema da soma.

Passo 3

Explicando o Teorema do Produto e por que os subtipos (IV) e (V) pertencem a ele.
  • O objetivo do “Teorema do Produto” é calcular a probabilidade da interseção de eventos (isto é, a probabilidade de que todos ocorram ao mesmo tempo).
  • Subtipo (IV): a regra geral vem direto da definição de probabilidade condicional. A probabilidade condicional de B dado A é
P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\quad\text{(se \(P(A)>0\))}.
Multiplicando os dois lados por P(A) obtemos
P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A),
que é exatamente (IV).
  • Subtipo (V): se A e B são independentes, a ocorrência de A não altera a probabilidade de B, isto é P(B\mid A)=P(B). Substituindo em (IV) chega-se a
P(A\cap B)=P(A)\,P(B),
que é (V).
Em palavras: tudo que dá probabilidade de interseção (multiplicando probabilidades e condicionais) é do teorema do produto.

Passo 4

Explicando o Teorema de Bayes e por que os subtipos (VI) e (VII) pertencem a ele — e como derivar.
  • Bayes fornece uma forma de “inverter” condicionais: a partir de P(B\mid A), P(A) e P(B) podemos obter P(A\mid B). Começa-se com a regra do produto (Passo 3):
P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A)=P(B)\,P(A\mid B).
  • Isolando P(A\mid B) obtemos a forma básica do Teorema de Bayes, que é Subtipo (VI):
P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}.
Aqui P(A) é chamado de priori (probabilidade antes de observar B), P(B\mid A) é a verossimilhança, P(A\mid B) é a posteriori, e P(B) é a evidência.
  • Subtipo (VII): frequentemente B pode ocorrer por várias causas mutuamente exclusivas A_1,A_2,\dots,A_n que formam uma partição do espaço amostral. Então usamos a probabilidade total para escrever
P(B)=\sum_j P(B\mid A_j)\,P(A_j),
e substituímos no denominador de (VI) para obter a forma de Bayes com partição:
P(A_i\mid B)=\frac{P(B\mid A_i)\,P(A_i)}{\sum_j P(B\mid A_j)\,P(A_j)},
que é (VII).
Em palavras: Bayes transforma informações na direção P(B\mid A) P(A\mid B), e quando há várias hipóteses concorrentes utiliza a probabilidade total no denominador.

Passo 5

Pequenos exemplos rápidos (para fixar) — sem calcular demais, só intuição:
  • Soma: se dois eventos não podem ocorrer juntos (ex.: tirar 1 ou 2 em um dado e os dois são mutuamente exclusivos), somamos as probabilidades. Se podem ocorrer juntos, subtrai-se a interseção.
  • Produto: para calcular a probabilidade de tirar cara em duas moedas consecutivas independentes, multiplica-se P(\text{cara})\cdot P(\text{cara}). Se o segundo evento depende do primeiro, usa-se a condicional.
  • Bayes: em teste diagnóstico: se se conhece a sensibilidade P(\text{teste+}\mid \text{doença})ç e a prevalência P(\text{doença})ç, Bayes dá P(\text{doença}\mid \text{teste+})ç.

Resposta

a) Teorema de Soma — Subtipos (I), (II) e (III)
b) Teorema de Produto — Subtipos (IV) e (V)
c) Teorema de Bayes — Subtipos (VI) e (VII)

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