O que representa a média da distribuição amostral? (1 ponto)
a) A variância da população ( \sigma^{2} )
b) A mediana da população
c) A média da população ( \mu )
d) O desvio padrão da população ( \sigma )

Passo 1

O enunciado pergunta: “O que representa a média da distribuição amostral?” e apresenta quatro alternativas. Os dados fornecidos são as alternativas:
  • a) A variância da população \sigma^{2}
  • b) A mediana da população
  • c) A média da população \mu
  • d) O desvio padrão da população \sigma

Passo 2

Primeiro, entender o que é “média da distribuição amostral” de forma simples e clara. A distribuição amostral de uma estatística (por exemplo, da média amostral) é a distribuição que essa estatística teria se repetíssemos muitas vezes o mesmo procedimento de amostragem e calculássemos a estatística em cada amostra. Em outras palavras: pegamos muitas amostras do mesmo tamanho, calculamos a média de cada amostra e observamos a distribuição dessas médias — isso é a distribuição amostral da média.

Passo 3

Agora vamos trabalhar com notação e calcular o valor esperado (esperança) da média amostral. Considere uma amostra de tamanho n formada por variáveis aleatórias identicamente distribuídas X_{1},X_{2},\dots,X_{n}, cada uma com média (esperança) \mu e variância \sigma^{2}. A média amostral é definida por
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}.
Queremos o valor esperado de \bar{X}, isto é E(\bar{X}). Usamos a linearidade da esperança (que diz que a esperança da soma é a soma das esperanças e que constantes saem da esperança). Calculamos:
E(\bar{X})=E\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}).
Como cada E(X_{i})=\mu, temos
E(\bar{X})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mu=\frac{1}{n}\cdot n\mu=\mu.
Portanto, o valor esperado (ou “média”) da distribuição amostral da média amostral é exatamente \mu.

Passo 4

Interpretação intuitiva e comentário adicional (útil para prova): isso mostra que a média amostral é um estimador não viciado (unbiased) da média populacional — em média, ao repetir amostras, a média amostral acerta a média verdadeira \mu. Um detalhe extra: a variância da média amostral é
\operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{\sigma^{2}}{n},
assumindo independência entre as X_{i}. Isso significa que quanto maior n, mais concentradas ficam as médias amostrais ao redor de \mu. Exemplo rápido: se \mu=10, \sigma^{2}=4 e n=4, então E(\bar{X})=10 e \operatorname{Var}(\bar{X})=1 (desvio padrão da média amostral igual a 1).

Resposta

c) A média da população ( \mu)

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