A probabilidade
de que um evento caracterizado por uma probabilidade
ocorra
vezes em
tentativas foi mostrada como sendo dada pela distribuição binomial
Considere uma situação onde a probabilidade
é pequena
e onde se está interessado no caso
. (Note que se
é grande,
se torna muito pequena se
devido ao pequeno fator
quando
. Portanto,
é realmente
apreciável apenas quando
.) Várias aproximações podem então ser feitas para reduzir (2) a uma forma mais simples. (a) Usando o resultado
, mostre que
. (b) Mostre que
. (c) Portanto, mostre que (2) se reduz a
onde
é o número médio de eventos. A distribuição (3) é chamada de “distribuição de Poisson.” Se precisar de mais alguma coisa, estou à disposição!
apreciável apenas quando
Passo 1
O enunciado dá a probabilidade binomial
e pede para, sob as hipóteses
e
, fazer três aproximações e mostrar que a fórmula se reduz à distribuição de Poisson. Especificamente as três tarefas são:
(a) Usando
, mostrar que
.
(b) Mostrar que
.
(c) Conseguir então a forma
onde
é o número médio de eventos.
Informações relevantes fornecidas:
-
é o número de tentativas (grande). -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa, com . -
é o número de sucessos observados, com . - A expansão usada será a expansão de série do logaritmo para pequenos argumentos:
.
Passo 2
(a) Mostrar
.
Explicação do método: para transformar potências em exponenciais usaremos a identidade
. Para pequenos
podemos aproximar
pela sua expansão de Taylor em
.
Desenvolvimento:
Para
vale a aproximação de primeira ordem
Substituindo,
Como estamos no regime
, o termo
pode ser aproximado por
porque
e
é muito menor que
(pois
e
é pequeno). Portanto
Observação didática: a ideia é trocar a potência por uma exponencial usando o log; a aproximação
vem de
, e como
é pequeno os termos de ordem superior são negligenciáveis.
Passo 3
(b) Mostrar
.
Explicação do método: escrever a razão de fatoriais como um produto de
fatores decrescentes (fatorial “cair”), e aproximar cada fator por
quando
.
Desenvolvimento:
Isso é um produto de exatamente
fatores. Podemos factorizar
:
Agora, para
cada fração
é pequena (mesmo o maior
dá
). Então cada fator
, e o produto completo tende a 1. Portanto
Comentário mais refinado (opcional, para intuição): usando
do produto obtém-se
que é pequeno quando
, mostrando que o fator de correção é
. Isso reforça a validade da aproximação para
(e na prática
já basta para a maioria dos casos com
).
Passo 4
(c) Usar (a) e (b) para reduzir a binomial à forma de Poisson.
Partindo de
substituímos a aproximação da parte factorial dada no passo 3 e a aproximação da potência dada no passo 2. Primeiro, usando (b),
então
Agora usar (a):
. Substituindo,
Agrupando
como uma única quantidade média
(número médio de eventos),
temos
Essa é exatamente a forma da distribuição de Poisson.
Comentário didático: a derivação mostra que quando as tentativas são muitas e a probabilidade de sucesso por tentativa é pequena (mas o produto
é de ordem finita), a distribuição binomial converge para a Poisson com média
. Intuitivamente: muitos ensaios raros → contagem de eventos segue Poisson.
Passo 5
Interpretação e exemplo numérico simples para fixar a ideia.
-
Interpretação:
é a média (esperança) do número de sucessos em tentativas porque, para a binomial, . Na forma de Poisson a média e a variância são ambas . -
Exemplo rápido: se
e , então . Mesmo com , o número médio de eventos é ; a probabilidade de observar exatamente eventos é dada pela Poisson .
Encorajamento: essa aproximação é super útil em provas e aplicações (contagem de eventos raros); o truque padrão é transformar potências em exponenciais pela função log e usar a representação do fatorial como produto de termos próximos a
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
, com