A probabilidade W(n) de que um evento caracterizado por uma probabilidade p ocorra n vezes em N tentativas foi mostrada como sendo dada pela distribuição binomial
W(n)=\frac{N!}{n!(N-n)!} p^{n}(1-p)^{N-n}
Considere uma situação onde a probabilidade p é pequena (p \ll 1) e onde se está interessado no caso n \ll N. (Note que se N é grande, W(n) se torna muito pequena se n \rightarrow N devido ao pequeno fator p^{n} quando p \ll 1. Portanto, W(n) é realmente
apreciável apenas quando n \ll N.) Várias aproximações podem então ser feitas para reduzir (2) a uma forma mais simples. (a) Usando o resultado \ln (1-p) \approx-p, mostre que (1-p)^{N-n} \approx e^{-N p}. (b) Mostre que N!/(N-n)!\approx N^{n}. (c) Portanto, mostre que (2) se reduz a
W(n)=\frac{\lambda^{n}}{n!} e^{-\lambda}
onde \lambda \equiv N p é o número médio de eventos. A distribuição (3) é chamada de “distribuição de Poisson.” Se precisar de mais alguma coisa, estou à disposição!

Passo 1

O enunciado dá a probabilidade binomial
W(n)=\frac{N!}{n!(N-n)!}\,p^{n}(1-p)^{N-n},
e pede para, sob as hipóteses \;p\ll1\; e \;n\ll N\;, fazer três aproximações e mostrar que a fórmula se reduz à distribuição de Poisson. Especificamente as três tarefas são:
(a) Usando \ln(1-p)\approx -p, mostrar que (1-p)^{N-n}\approx e^{-Np}.
(b) Mostrar que \dfrac{N!}{(N-n)!}\approx N^{n}.
(c) Conseguir então a forma
W(n)=\frac{\lambda^{n}}{n!}e^{-\lambda},
onde \lambda\equiv N p é o número médio de eventos.
Informações relevantes fornecidas:
  • N é o número de tentativas (grande).
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa, com p\ll1.
  • n é o número de sucessos observados, com n\ll N.
  • A expansão usada será a expansão de série do logaritmo para pequenos argumentos: \ln(1-p)\approx -p.

Passo 2

(a) Mostrar (1-p)^{N-n}\approx e^{-Np}.
Explicação do método: para transformar potências em exponenciais usaremos a identidade (1-p)^{N-n}=\exp\big[(N-n)\ln(1-p)\big]. Para pequenos p podemos aproximar \ln(1-p) pela sua expansão de Taylor em p=0.
Desenvolvimento:
(1-p)^{N-n}=\exp\big[(N-n)\ln(1-p)\big].
Para p\ll1 vale a aproximação de primeira ordem
\ln(1-p)\approx -p.
Substituindo,
(1-p)^{N-n}\approx \exp\big[(N-n)(-p)\big]=\exp\big[-(N-n)p\big].
Como estamos no regime n\ll N, o termo (N-n)p pode ser aproximado por Np porque (N-n)p = Np - np e np é muito menor que Np (pois n\ll N e p é pequeno). Portanto
(1-p)^{N-n}\approx e^{-Np}.
Observação didática: a ideia é trocar a potência por uma exponencial usando o log; a aproximação \ln(1-p)\approx -p vem de \ln(1-p)=-p-\tfrac{p^{2}}{2}-\cdots, e como p é pequeno os termos de ordem superior são negligenciáveis.

Passo 3

(b) Mostrar \dfrac{N!}{(N-n)!}\approx N^{n}.
Explicação do método: escrever a razão de fatoriais como um produto de n fatores decrescentes (fatorial “cair”), e aproximar cada fator por N quando n\ll N.
Desenvolvimento:
\frac{N!}{(N-n)!}=N\cdot (N-1)\cdot (N-2)\cdots (N-n+1).
Isso é um produto de exatamente n fatores. Podemos factorizar N^{n}:
\frac{N!}{(N-n)!}=N^{n}\cdot\prod_{j=0}^{n-1}\left(1-\frac{j}{N}\right).
Agora, para n\ll N cada fração \dfrac{j}{N} é pequena (mesmo o maior j=n-1 \dfrac{n-1}{N}\ll1). Então cada fator \left(1-\dfrac{j}{N}\right)\approx 1, e o produto completo tende a 1. Portanto
\frac{N!}{(N-n)!}\approx N^{n}.
Comentário mais refinado (opcional, para intuição): usando \ln do produto obtém-se
\ln\prod_{j=0}^{n-1}\left(1-\frac{j}{N}\right)=\sum_{j=0}^{n-1}\ln\left(1-\frac{j}{N}\right)\approx -\sum_{j=0}^{n-1}\frac{j}{N}=-\frac{n(n-1)}{2N},
que é pequeno quando n^{2}\ll N, mostrando que o fator de correção é \exp\!\big(-\tfrac{n(n-1)}{2N}\big)\approx1. Isso reforça a validade da aproximação para n\ll\sqrt{N} (e na prática n\ll N já basta para a maioria dos casos com p\ll1).

Passo 4

(c) Usar (a) e (b) para reduzir a binomial à forma de Poisson.
Partindo de
W(n)=\frac{N!}{n!(N-n)!}\,p^{n}(1-p)^{N-n},
substituímos a aproximação da parte factorial dada no passo 3 e a aproximação da potência dada no passo 2. Primeiro, usando (b),
\frac{N!}{(N-n)!}\approx N^{n},
então
W(n)\approx \frac{N^{n}}{n!}\,p^{n}\,(1-p)^{N-n}.
Agora usar (a): (1-p)^{N-n}\approx e^{-Np}. Substituindo,
W(n)\approx \frac{N^{n}p^{n}}{n!}\,e^{-Np}.
Agrupando N p como uma única quantidade média \lambda (número médio de eventos),
\lambda\equiv N p,
temos
W(n)\approx \frac{\lambda^{n}}{n!}\,e^{-\lambda}.
Essa é exatamente a forma da distribuição de Poisson.
Comentário didático: a derivação mostra que quando as tentativas são muitas e a probabilidade de sucesso por tentativa é pequena (mas o produto Np é de ordem finita), a distribuição binomial converge para a Poisson com média \lambda= Np. Intuitivamente: muitos ensaios raros → contagem de eventos segue Poisson.

Passo 5

Interpretação e exemplo numérico simples para fixar a ideia.
  • Interpretação: \lambda é a média (esperança) do número de sucessos em N tentativas porque, para a binomial, \mathbb{E}[n]=Np. Na forma de Poisson a média e a variância são ambas \lambda.
  • Exemplo rápido: se N=10^{6} e p=10^{-4}, então \lambda=Np=100. Mesmo com p\ll1, o número médio de eventos é 100; a probabilidade de observar exatamente n eventos é dada pela Poisson \dfrac{100^{n}}{n!}e^{-100}.
Encorajamento: essa aproximação é super útil em provas e aplicações (contagem de eventos raros); o truque padrão é transformar potências em exponenciais pela função log e usar a representação do fatorial como produto de termos próximos a N.

Resposta

(a) (1-p)^{N-n}\approx e^{-Np}
(b) \dfrac{N!}{(N-n)!}\approx N^{n}
(c) W(n)=\dfrac{\lambda^{n}}{n!}e^{-\lambda}, com \lambda\equiv N p

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