Derive a distribuição binomial da seguinte maneira algébrica, que não envolve qualquer análise combinatória explícita. Estamos interessados em encontrar a probabilidade P(n) de n sucessos de um total de N tentativas independentes. Seja w_{1}=p que denota a probabilidade de sucesso, e w_{2}=1-p=q a correspondente probabilidade de fracasso. Então P(n) pode ser obtido pela seguinte expressão
P(n)=\sum_{i_{1}=1}^{2} \sum_{i_{2}=1}^{2} \sum_{i_{3}=1}^{2} \cdots \sum_{i_{N}=1}^{2} w_{i_{1}} w_{i_{2}} w_{i_{3}} \ldots w_{i_{N}}
O segundo termo contém N fatores e é uma combinação de sucessos e fracassos. A soma de todas as combinações deve ser considerada apenas sobre os termos que envolvem w_{1} exatamente n vezes, ou seja, apenas sobre aqueles termos envolvendo w_{1}^{n}. Manipulando a soma (1), mostre que a soma irrestrita pode ser escrita na forma P(n)=\left(w_{1}+w_{2}\right)^{N}. Expandindo isso pelo teorema binomial, mostre que a soma de todos os termos em (1) envolvendo w_{1}^{n}, ou seja, a probabilidade desejada P(n), é então simplesmente dada por um termo de expansão binomial que envolve w_{1}^{n}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado nos dá uma soma múltipla
P(n)=\sum_{i_{1}=1}^{2}\sum_{i_{2}=1}^{2}\cdots\sum_{i_{N}=1}^{2} w_{i_{1}}w_{i_{2}}\cdots w_{i_{N}},
onde \,w_{1}=p é a probabilidade de sucesso e \,w_{2}=1-p=q é a probabilidade de fracasso. Cada termo do somatório é um produto de N fatores, cada fator sendo w_{1} ou w_{2}.
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Mostrar algebricamente que a soma irrestrita (isto é, sem filtrar por n) é igual a (w_{1}+w_{2})^{N}.
    2. Usando a expansão binomial, identificar a soma de todos os termos que contêm exatamente n fatores w_{1} — isto é, encontrar explicitamente P(n).
Não vou ainda resolver; só deixei claro o que temos e o que é pedido.

Passo 2

Mostro agora, passo a passo e algebricamente, por que a soma múltipla se transforma num produto de somas e assim vira (w_{1}+w_{2})^{N}.
Começo do somatório dado:
\sum_{i_{1}=1}^{2}\sum_{i_{2}=1}^{2}\cdots\sum_{i_{N}=1}^{2} w_{i_{1}}w_{i_{2}}\cdots w_{i_{N}}.
Agrupo as somas usando a propriedade distributiva repetidamente. Pense em aplicar a soma sobre i_{N} por último: para cada escolha fixa de i_{1},\dots,i_{N-1} tem-se
\sum_{i_{N}=1}^{2} w_{i_{1}}w_{i_{2}}\cdots w_{i_{N-1}}w_{i_{N}} = w_{i_{1}}w_{i_{2}}\cdots w_{i_{N-1}}\sum_{i_{N}=1}^{2} w_{i_{N}},
porque w_{i_{1}}w_{i_{2}}\cdots w_{i_{N-1}} é constante relativamente à soma sobre i_{N}. Então a soma total pode ser reescrita como
\sum_{i_{1}=1}^{2}\sum_{i_{2}=1}^{2}\cdots\sum_{i_{N-1}=1}^{2} \biggl(w_{i_{1}}w_{i_{2}}\cdots w_{i_{N-1}}\sum_{i_{N}=1}^{2} w_{i_{N}}\biggr).
Agora \sum_{i_{N}=1}^{2} w_{i_{N}}=w_{1}+w_{2} é um escalar, logo pode ser fatorado para fora da soma sobre i_{1},\dots,i_{N-1}. Repetindo o mesmo raciocínio recursivamente para cada soma, obtemos
\sum_{i_{1}=1}^{2}\cdots\sum_{i_{N}=1}^{2} w_{i_{1}}\cdots w_{i_{N}} = \bigl(\sum_{i_{1}=1}^{2} w_{i_{1}}\bigr)\bigl(\sum_{i_{2}=1}^{2} w_{i_{2}}\bigr)\cdots\bigl(\sum_{i_{N}=1}^{2} w_{i_{N}}\bigr).
Mas cada soma \sum_{i_{k}=1}^{2} w_{i_{k}} vale w_{1}+w_{2}. Portanto o produto de N dessas somas é
\bigl(w_{1}+w_{2}\bigr)^{N}.
Concluímos, algebricamente (apenas usando distributividade e fatoração), que
\sum_{i_{1}=1}^{2}\cdots\sum_{i_{N}=1}^{2} w_{i_{1}}\cdots w_{i_{N}} = \bigl(w_{1}+w_{2}\bigr)^{N}.

Passo 3

Agora vou usar o teorema binomial para expandir \bigl(w_{1}+w_{2}\bigr)^{N} e identificar os termos que têm exatamente n fatores w_{1}.
O teorema binomial afirma que, para inteiro N\ge 0,
\bigl(w_{1}+w_{2}\bigr)^{N} = \sum_{n=0}^{N} \binom{N}{n}\, w_{1}^{\,n}\, w_{2}^{\,N-n},
onde \binom{N}{n} é o coeficiente binomial. Uma forma padrão de definir \binom{N}{n} é
\binom{N}{n} = \frac{N!}{n!\,(N-n)!},
com N! denotando o fatorial de N.
Breve comentário algébrico sobre por que essa soma aparece: ao expandir o produto (w_{1}+w_{2})(w_{1}+w_{2})\cdots(w_{1}+w_{2}) (com N fatores) pela distributividade, cada termo da expansão resulta de escolher em cada parêntese ou w_{1} ou w_{2}. Toda escolha dá um monômio w_{1}^{n}w_{2}^{N-n} para algum n; a soma acima reúne todos os monômios iguais e coloca como fator \binom{N}{n} a quantidade resultante desses monômios. O teorema binomial dá diretamente essa soma com os coeficientes \binom{N}{n}.

Passo 4

Relacionemos a expansão com a probabilidade que queremos. Lembrando que cada termo no somatório inicial corresponde a uma escolha de w_{1} ou w_{2} em cada uma das N tentativas, os termos que contêm exatamente n fatores w_{1} são precisamente os monômios w_{1}^{n}w_{2}^{N-n} na expansão. O coeficiente \binom{N}{n} multiplica exatamente essa potência porque a expansão reúne todas as escolhas que produzem o mesmo monômio.
Portanto a soma de todos os termos que envolvem w_{1}^{n} (ou seja, a probabilidade de obter exatamente n sucessos em N tentativas) é o termo correspondente na expansão:
P(n)=\binom{N}{n}\, w_{1}^{\,n}\, w_{2}^{\,N-n}.

Passo 5

Substituindo w_{1}=p e w_{2}=q=1-p obtemos a forma usual da distribuição binomial:
P(n)=\binom{N}{n}\, p^{n}\, (1-p)^{\,N-n},\qquad n=0,1,\dots,N.
Para fixar a intuição com um exemplo pequeno: se N=3,
(w_{1}+w_{2})^{3}=w_{1}^{3}+3w_{1}^{2}w_{2}+3w_{1}w_{2}^{2}+w_{2}^{3},
e o termo com w_{1}^{2} (isto é n=2) é 3w_{1}^{2}w_{2}, logo P(2)=3p^{2}q.

Resposta

P(n)=\binom{N}{n}\, p^{n}\, (1-p)^{\,N-n},\qquad n=0,1,\dots,N.

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