Derive a distribuição binomial da seguinte maneira algébrica, que não envolve qualquer análise combinatória explícita. Estamos interessados em encontrar a probabilidade
de
sucessos de um total de
tentativas independentes. Seja
que denota a probabilidade de sucesso, e
a correspondente probabilidade de fracasso. Então
pode ser obtido pela seguinte expressão
O segundo termo contém
fatores e é uma combinação de sucessos e fracassos. A soma de todas as combinações deve ser considerada apenas sobre os termos que envolvem
exatamente
vezes, ou seja, apenas sobre aqueles termos envolvendo
. Manipulando a soma (1), mostre que a soma irrestrita pode ser escrita na forma
. Expandindo isso pelo teorema binomial, mostre que a soma de todos os termos em (1) envolvendo
, ou seja, a probabilidade desejada
, é então simplesmente dada por um termo de expansão binomial que envolve
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado nos dá uma soma múltipla
onde
é a probabilidade de sucesso e
é a probabilidade de fracasso. Cada termo do somatório é um produto de
fatores, cada fator sendo
ou
.
- O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar algebricamente que a soma irrestrita (isto é, sem filtrar por
) é igual a . - Usando a expansão binomial, identificar a soma de todos os termos que contêm exatamente
fatores — isto é, encontrar explicitamente .
- Mostrar algebricamente que a soma irrestrita (isto é, sem filtrar por
Não vou ainda resolver; só deixei claro o que temos e o que é pedido.
Passo 2
Mostro agora, passo a passo e algebricamente, por que a soma múltipla se transforma num produto de somas e assim vira
.
Começo do somatório dado:
Agrupo as somas usando a propriedade distributiva repetidamente. Pense em aplicar a soma sobre
por último: para cada escolha fixa de
tem-se
porque
é constante relativamente à soma sobre
. Então a soma total pode ser reescrita como
Agora
é um escalar, logo pode ser fatorado para fora da soma sobre
. Repetindo o mesmo raciocínio recursivamente para cada soma, obtemos
Mas cada soma
vale
. Portanto o produto de
dessas somas é
Concluímos, algebricamente (apenas usando distributividade e fatoração), que
Passo 3
Agora vou usar o teorema binomial para expandir
e identificar os termos que têm exatamente
fatores
.
O teorema binomial afirma que, para inteiro
,
onde
é o coeficiente binomial. Uma forma padrão de definir
é
com
denotando o fatorial de
.
Breve comentário algébrico sobre por que essa soma aparece: ao expandir o produto
(com
fatores) pela distributividade, cada termo da expansão resulta de escolher em cada parêntese ou
ou
. Toda escolha dá um monômio
para algum
; a soma acima reúne todos os monômios iguais e coloca como fator
a quantidade resultante desses monômios. O teorema binomial dá diretamente essa soma com os coeficientes
.
Passo 4
Relacionemos a expansão com a probabilidade que queremos. Lembrando que cada termo no somatório inicial corresponde a uma escolha de
ou
em cada uma das
tentativas, os termos que contêm exatamente
fatores
são precisamente os monômios
na expansão. O coeficiente
multiplica exatamente essa potência porque a expansão reúne todas as escolhas que produzem o mesmo monômio.
Portanto a soma de todos os termos que envolvem
(ou seja, a probabilidade de obter exatamente
sucessos em
tentativas) é o termo correspondente na expansão:
Passo 5
Substituindo
e
obtemos a forma usual da distribuição binomial:
Para fixar a intuição com um exemplo pequeno: se
,
e o termo com
(isto é
) é
, logo
.