Derive a distribuição binomial da seguinte maneira algébrica, que não envolve qualquer análise combinatória explícita. Estamos interessados em encontrar a probabilidade
de
sucessos de um total de
tentativas independentes. Seja
que denota a probabilidade de sucesso, e
a correspondente probabilidade de fracasso. Então
pode ser obtido pela seguinte expressão
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede:
- Temos
tentativas independentes. - A probabilidade de sucesso em cada tentativa é
. - A probabilidade de fracasso em cada tentativa é
. - O enunciado apresenta a expressão
onde a soma é sobre todas as escolhas
com
.
- O objetivo: deduzir, de forma algébrica (sem recorrer explicitamente a contagens combinatórias), a fórmula de
, ou seja a probabilidade de ocorrer exatamente sucessos em tentativas.
Passo 2
Idéia-chave (marcações algébricas e geração de potências): introduzir um marcador
que conta o número de sucessos na sequência. Em vez de somar simplesmente os produtos
, multiplico cada
por
e deixo cada
sem
. Assim cada termo da soma fica multiplicado por
. Em fórmulas:
Defina a função geradora
onde
é
se
(sucesso) e
caso contrário. Pela definição de
e
, cada soma interna é a aplicação repetida da distributividade; portanto o produto de somas vale a soma dos produtos. Isso dá a identidade (distributividade em cadeia)
Explicação passo a passo dessa igualdade: para
é trivial
. Para
,
e, usando distributividade, obtém-se exatamente a soma de todos os quatro produtos
. Indutivamente, multiplicar por mais um fator
adiciona a nova escolha
e distribui sobre todos os termos anteriores, produzindo a soma desejada. Portanto
.
Observação importante: o coeficiente de
em
é, por construção, a soma de todos os termos
que contêm exatamente
fatores
. Logo esse coeficiente é exatamente
.
Passo 3
Aplicar o Teorema do Binômio (forma algébrica): o binômio de Newton diz que, para quaisquer
e inteiro
,
onde os coeficientes
são os coeficientes do polinómio e satisfazem a recorrência de Pascal
com fronteiras
. Essa identidade pode ser vista e provada puramente por indução algébrica: para
é trivial; assumindo válida para
, multiplica-se por
e recolhe-se termos em
produzindo a recorrência acima, o que fecha a indução. Assim os coeficientes do polinómio
são exatamente esses
. (Se quiser a forma fechada, pode definir algebraicamente
, mas a prova por indução mostra que os coeficientes existem e são únicos.)
Passo 4
Aplicar o Teorema do Binômio ao nosso gerador
. Substituindo
e
na fórmula do binómio:
Reagrupando potências de
obtemos
Pelo raciocínio do Passo 2, o coeficiente de
em
é exatamente
. Portanto, comparando coeficientes:
para
.
Passo 5
Verificações e interpretações rápidas (para fixar a ideia):
- Normalização: somando
sobre dá , o que confirma que as probabilidades somam . - Exemplo concreto:
. Expandindo temos
logo
,
,
,
. Essas expressões surgem pura e simplesmente da expansão algébrica, sem necessidade de “contar” arranjos.
Passo 6
Resumo didático para a prova (como fazer rápido): escreva o produto gerador
, expanda via binômio e leia o coeficiente de
. Esse coeficiente é
. É uma técnica que evita fazer soma explícita de todas as sequências e funciona bem na caneta durante a prova.