Derive a distribuição binomial da seguinte maneira algébrica, que não envolve qualquer análise combinatória explícita. Estamos interessados em encontrar a probabilidade P(n) de n sucessos de um total de N tentativas independentes. Seja w_{1}=p que denota a probabilidade de sucesso, e w_{2}=1-p=q a correspondente probabilidade de fracasso. Então P(n) pode ser obtido pela seguinte expressão
P(n)=\sum_{i_{1}=1}^{2} \sum_{i_{2}=1}^{2} \sum_{i_{3}=1}^{2} \cdots \sum_{i_{N}=1}^{2} w_{i_{1}} w_{i_{2}} w_{i_{3}} \ldots w_{i_{N}}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede:
  • Temos N tentativas independentes.
  • A probabilidade de sucesso em cada tentativa é w_{1}=p.
  • A probabilidade de fracasso em cada tentativa é w_{2}=1-p=q.
  • O enunciado apresenta a expressão
P(n)=\sum_{i_{1}=1}^{2} \sum_{i_{2}=1}^{2} \cdots \sum_{i_{N}=1}^{2} w_{i_{1}} w_{i_{2}} \cdots w_{i_{N}}
onde a soma é sobre todas as escolhas (i_{1},\dots,i_{N}) com i_k\in\{1,2\}.
  • O objetivo: deduzir, de forma algébrica (sem recorrer explicitamente a contagens combinatórias), a fórmula de P(n), ou seja a probabilidade de ocorrer exatamente n sucessos em N tentativas.

Passo 2

Idéia-chave (marcações algébricas e geração de potências): introduzir um marcador x que conta o número de sucessos na sequência. Em vez de somar simplesmente os produtos w_{i_1}\cdots w_{i_N}, multiplico cada w_1 por x e deixo cada w_2 sem x. Assim cada termo da soma fica multiplicado por x^{\text{(número de }w_1\text{ no termo)}}ú. Em fórmulas:
Defina a função geradora
G(x)=\sum_{i_{1}=1}^{2}\cdots\sum_{i_{N}=1}^{2} w_{i_{1}} w_{i_{2}}\cdots w_{i_{N}} x^{\sum_{k=1}^N \mathbf{1}_{\{i_k=1\}}},
onde \mathbf{1}_{\{i_k=1\}} é 1 se i_k=1 (sucesso) e 0 caso contrário. Pela definição de w_1 e w_2, cada soma interna é a aplicação repetida da distributividade; portanto o produto de somas vale a soma dos produtos. Isso dá a identidade (distributividade em cadeia)
G(x)=\prod_{k=1}^{N}\big(w_{1}x + w_{2}\big) = (p x + q)^{N}.
Explicação passo a passo dessa igualdade: para N=1 é trivial G(x)=w_1 x + w_2. Para N=2,
\prod_{k=1}^{2}(w_1 x + w_2)=(w_1 x + w_2)(w_1 x + w_2)
e, usando distributividade, obtém-se exatamente a soma de todos os quatro produtos w_{i_1}w_{i_2}x^{\#\text{ de }w_1}. Indutivamente, multiplicar por mais um fator (w_1 x+w_2) adiciona a nova escolha i_{N+1} e distribui sobre todos os termos anteriores, produzindo a soma desejada. Portanto G(x)=(p x+q)^N.
Observação importante: o coeficiente de x^{n} em G(x) é, por construção, a soma de todos os termos w_{i_1}\cdots w_{i_N} que contêm exatamente n fatores w_1. Logo esse coeficiente é exatamente P(n).

Passo 3

Aplicar o Teorema do Binômio (forma algébrica): o binômio de Newton diz que, para quaisquer a,b e inteiro N\ge0,
(a+b)^{N}=\sum_{n=0}^{N} \binom{N}{n} a^{n} b^{N-n},
onde os coeficientes \binom{N}{n} são os coeficientes do polinómio e satisfazem a recorrência de Pascal
\binom{N+1}{n}=\binom{N}{n-1}+\binom{N}{n},
com fronteiras \binom{N}{0}=\binom{N}{N}=1. Essa identidade pode ser vista e provada puramente por indução algébrica: para N=1 é trivial; assumindo válida para N, multiplica-se por (a+b) e recolhe-se termos em a^{n} produzindo a recorrência acima, o que fecha a indução. Assim os coeficientes do polinómio (a+b)^N são exatamente esses \binom{N}{n}. (Se quiser a forma fechada, pode definir algebraicamente \binom{N}{n}=\dfrac{N!}{n!(N-n)!}, mas a prova por indução mostra que os coeficientes existem e são únicos.)

Passo 4

Aplicar o Teorema do Binômio ao nosso gerador G(x). Substituindo a=p x e b=q na fórmula do binómio:
(p x + q)^{N}=\sum_{n=0}^{N} \binom{N}{n} (p x)^{n} q^{N-n}.
Reagrupando potências de x obtemos
(p x + q)^{N}=\sum_{n=0}^{N} \binom{N}{n} p^{n} q^{N-n} x^{n}.
Pelo raciocínio do Passo 2, o coeficiente de x^{n} em G(x) é exatamente P(n). Portanto, comparando coeficientes:
P(n)=\binom{N}{n} p^{n} q^{\,N-n},
para n=0,1,\dots,N.

Passo 5

Verificações e interpretações rápidas (para fixar a ideia):
  • Normalização: somando P(n) sobre n \sum_{n=0}^{N}\binom{N}{n}p^{n}q^{N-n}=(p+q)^{N}=1^{N}=1, o que confirma que as probabilidades somam 1.
  • Exemplo concreto: N=3. Expandindo (p x+q)^3 temos
(p x+q)^3 = p^3 x^3 + 3p^2 q x^2 + 3 p q^2 x + q^3,
logo P(3)=p^3, P(2)=3p^2 q, P(1)=3 p q^2, P(0)=q^3. Essas expressões surgem pura e simplesmente da expansão algébrica, sem necessidade de “contar” arranjos.

Passo 6

Resumo didático para a prova (como fazer rápido): escreva o produto gerador \prod_{k=1}^{N}(p x+q)=(p x+q)^N, expanda via binômio e leia o coeficiente de x^n. Esse coeficiente é P(n)=\binom{N}{n}p^{n}q^{N-n}. É uma técnica que evita fazer soma explícita de todas as sequências e funciona bem na caneta durante a prova.

Resposta

P(n)=\binom{N}{n}\,p^{n}\,q^{\,N-n}

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