Problema 06
Enunciado
Considere o átomo de hidrogênio nos seguintes estados quânticos, especificados pelos números quânticos
:
Estado
Notação Espectral
A
2
0
0
2 s
B
2
1
-1
C
2
1
+1
O raio de Bohr é denotado por
.
Parte 1: Funções de Onda e Densidade Radial
As funções de onda do átomo de hidrogênio são dadas por:
Para
, as partes radiais são:
- Derive a expressão para a densidade de probabilidade radial
, definida como a probabilidade por unidade de raio de encontrar o elétron a uma distância
do núcleo, independente dos ângulos. Mostre que:
- Escreva as expressões explícitas de
e
em termos de
e
.
Parte 2: Simetria Esférica e Dependência Angular
- A densidade de probabilidade total é
.
(a) Escreva as expressões para
e
.
(b) Discuta: quais dos três estados (A, B ou C) possuem densidade de probabilidade total esfericamente simétrica? Justifique sua resposta analisando a dependência angular.
Dica: Um estado é esfericamente simétrico se
depender apenas de
, e não de
ou
.
Parte 3: Plotagem e Análise Qualitativa
- Utilizando Python, Mathematica ou outra ferramenta computacional:
(a) Plote
e
no mesmo gráfico, com
variando de 0 a
.
(b) Identifique nos gráficos:
- Os valores de
onde cada densidade atinge seu máximo (picos mais prováveis);
- Os nós radiais (pontos onde
, exceto em
e
).
(c) Compare qualitativamente as duas curvas: qual estado tem maior probabilidade de encontrar o elétron mais próximo do núcleo? Qual se estende mais para regiões externas?
Parte 4: Cálculo de Probabilidades em Intervalos Definidos
- Calcule a probabilidade de encontrar o elétron no intervalo radial
para:
- O estado 2s (
);
- O estado 2 p
; observe que
é igual para
.
A probabilidade é dada por:
Sugestão: Faça a mudança de variável
para adimensionalizar a integral. As integrais podem ser resolvidas analiticamente por partes ou numericamente.
6. Interprete os resultados: por que as probabilidades diferem entre os estados 2 s e 2 p para o mesmo intervalo radial? Relacione com a presença de nó radial no estado 2 s.
Parte 5: Questão Conceitual Final
- Explique por que, embora os estados 2 p com
tenham dependência angular complexa (
), a densidade de probabilidade radial
é idêntica para todos os valores de
. O que isso implica sobre medições que dependem apenas da distância ao núcleo?
| Estado |
|
|
|
Notação Espectral |
| A | 2 | 0 | 0 | 2 s |
| B | 2 | 1 | -1 |
|
| C | 2 | 1 | +1 |
|
(a) Escreva as expressões para
(b) Discuta: quais dos três estados (A, B ou C) possuem densidade de probabilidade total esfericamente simétrica? Justifique sua resposta analisando a dependência angular.
(a) Plote
(b) Identifique nos gráficos:
(c) Compare qualitativamente as duas curvas: qual estado tem maior probabilidade de encontrar o elétron mais próximo do núcleo? Qual se estende mais para regiões externas?
6. Interprete os resultados: por que as probabilidades diferem entre os estados 2 s e 2 p para o mesmo intervalo radial? Relacione com a presença de nó radial no estado 2 s.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda). Dados relevantes fornecidos:
- Três estados do átomo de hidrogênio com números quânticos:
- Estado A:
, notação espectral . - Estado B:
, notação . - Estado C:
, notação .
- Estado A:
- Raio de Bohr:
. - Para
as partes radiais são (peguei essas expressões do enunciado):
O que o enunciado pede (resumidamente):
- Mostrar que a densidade de probabilidade radial é
. - Escrever explicitamente
e em termos de e . - (a) Escrever
. (b) Decidir quais estados são esfericamente simétricos. - (a) Indicar como plotar
e em . (b) Identificar máximos (picos) e nós radiais (excluindo ). (c) Comparar qualitativamente as curvas. - Calcular a probabilidade
para os estados 2s e 2p (note que é igual para todos os ). - Interpretar por que as probabilidades diferem (relacionar com nó radial do 2s).
- Explicar por que
é idêntica para todos os e o que isso implica para medições que dependem só da distância ao núcleo.
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Derivação didática de por que a densidade radial é
.
A ideia física: a função de onda total é
A densidade de probabilidade espacial é
. Em coordenadas esféricas, o volume de uma casca esférica entre raios
e
é
A probabilidade de encontrar o elétron nessa casca é
Se queremos a probabilidade por unidade de raio, independente da direção (isto é, a probabilidade de encontrar o elétron entre
e
, somando todas as direções), integramos sobre os ângulos:
Como
não depende dos ângulos, ele sai da integral angular. Os harmônicos esféricos
são normalizados na esfera unitária, o que significa
Portanto a integral angular reduz simplesmente a 1, e obtemos
ou seja, por unidade de raio
Comentário didático: a razão por que a integral angular dá 1 é a normalização padrão dos
. Assim
não depende de
; depende só de
e
.
Passo 3
Obter as expressões explícitas de
e
substituindo as partes radiais dadas.
Primeiro lembrar: as expressões do enunciado são reais, então
.
Substituindo em
:
Para
(
):
Logo
É útil adimensionalizar com
. Substituindo
e simplificando:
Observação: a presença do fator
garante que
tem dimensão de
comprimento (probabilidade por unidade de raio).
Para
(
):
Então
Usando
isso vira
Resumo prático (formas em
):
Passo 4
Angular: escrever
e discutir simetria.
Formas conhecidas dos harmônicos esféricos (normalizações padrão, peguei da teoria dos harmônicos):
Para
uma forma conveniente é
portanto (o fator de fase
some ao tomar o módulo quadrado)
Passo de interpretação angular:
-
é constante: não depende de nem . Isso significa que qualquer quantidade construída a partir de depende só de : o estado é esfericamente simétrico. -
depende de (máximo no plano equatorial , zero nos pólos ) e não depende apenas de . Portanto os estados não são esfericamente simétricos.
Conclusão direta: entre A, B e C, somente A (o estado
) tem densidade de probabilidade total esfericamente simétrica.
Passo 5
Análise dos máximos (picos mais prováveis) e dos nós radiais, e instruções de plotagem.
Primeiro, as expressões adimensionais (com
) são mais práticas:
Encontrar máximos é achar
tal que
. Como os fatores constantes
e
não afetam a posição do máximo, derivamos apenas as partes adimensionais.
Para
: considere
.
Zerando:
(mínimo) ou
. Assim o máximo físico (fora de zero) é
, ou seja
Para
: considere
. É conveniente trabalhar com
:
Multiplicando e reorganizando obtém-se a equação quadrática
cuja solução relevante em
é
Portanto
Nós radiais (excluindo
e
):
- Para
: do fator vem um nó (zero do ) em , i.e. - Para
: a parte radial só zera em ; não há nó radial radial não-trivial em . Assim, não há nós radiais além de e .
Instrução de plotagem (exemplo Python):
- Usar
de a e traçar e multiplicadas por se quiser unidades adimensionais coerentes; por exemplo em Python:
code:
from numpy import linspace, exp
import matplotlib.pyplot as plt
a0=1.0
rho=linspace(0.0,20.0,2000)
P20=(1/8.0)(1/a0)rho**2(2-rho)**2exp(-rho)
P21=(1/24.0)*(1/a0)rho**4exp(-rho)
plt.plot(rho,P20,label=‘2s’)
plt.plot(rho,P21,label=‘2p’)
plt.xlim(0,20)
plt.xlabel(‘r/a0’)
plt.legend()
plt.show() - Esse gráfico mostra claramente o pico do 2s bem próximo do núcleo e o pico do 2p em
; o nó do 2s em aparece como um zero da curva.
Comparação qualitativa:
- Perto do núcleo (
pequeno) enquanto ; portanto o estado tem maior probabilidade próxima ao núcleo. - O estado
tem máximo em e decai mais lentamente na região externa, portanto se estende mais para regiões externas.
Passo 6
Cálculo das probabilidades no intervalo
. Fazer a mudança de variável
. Como
, temos:
Para
:
Expandindo o polinômio
e usando antiderivadas do tipo
(por partes repetidas) obtém-se a forma fechada
e formulas semelhantes para ordens menores. Avaliando entre
e
resulta (após simplificação)
Avaliação numérica:
Para
:
Usando a antiderivada para
e avaliando entre 1 e 3 obtemos a forma fechada
e numericamente
Interpretação imediata: no intervalo
o estado
dá uma probabilidade bem maior do que o
(aprox.
vs
). Isso ocorre porque o
tem um nó radial em
(reduzindo fortemente a densidade naquela região), ao passo que o
não tem nó radial e concentra probabilidade mais para fora (com pico em
).
Passo 7
Resposta conceitual sobre independência em
de
.
- A parte radial
depende apenas de e , não de . O fator angular contém a dependência em . - A densidade radial
é obtida integrando sobre todos os ângulos, ou seja Como (normalização dos harmônicos), o resultado não depende de . - Em termos físicos: medições que dependem somente da distância ao núcleo (operadores função de
apenas) não conseguem distinguir estados com o mesmo e diferentes . Esses estados são degenerados quanto a observáveis radiais; diferenças entre eles aparecem apenas em observáveis angulares (como momento angular numa direção, alinhamentos, etc.). - Especificamente para os
com , embora seus tenham fatores de fase e distribuição angular , após integrar sobre as direções para obter uma probabilidade radial tudo isso desaparece: a densidade radial é idêntica para .
Resposta
3a.
3b. Só o estado A (
) é esfericamente simétrico, pois só
é constante.
- Máximos e nós (valores exatos):
-
-
- Nó radial do
: . O não tem nó radial em (além de ).
Comparação qualitativa:tem maior probabilidade muito perto do núcleo; estende-se mais para regiões externas.
- Probabilidades no intervalo
(formas exatas e numéricas):
-
Interpretação: a diferença vem do nó radial do
em , que reduz fortemente a probabilidade nessa região; o não tem nó radial e concentra mais probabilidade no intervalo considerado. -
Porque a parte radial
não depende de e a integral angular de é 1; assim é idêntica para todos os . Consequência: medições que dependem somente da distância ao núcleo não distinguem estados com o mesmo e diferentes .