Problema 10 Conhecendo a equação geral das cônicas A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0, determine os coeficientes A, B, C e use o discriminante B^{2}-4 A C para decidir, em cada item abaixo, qual cônica é descrita pela equação dada.
52 x^{2}-72 x y+73 y^{2}+40 x+30 y=75

Passo 1

O enunciado nos dá a equação geral das cônicas
52x^{2}-72xy+73y^{2}+40x+30y=75
e pede para identificar os coeficientes A,B,C e usar o discriminante B^{2}-4AC para dizer qual cônica aparece.

Passo 2

Primeiro trazemos todos os termos para o lado esquerdo, igualando a zero, para identificar A,B,C,D,E,F:
52x^{2}-72xy+73y^{2}+40x+30y-75=0.
Logo:
A=52,\quad B=-72,\quad C=73,\quad D=40,\quad E=30,\quad F=-75.

Passo 3

Agora calculamos o discriminante
\Delta = B^{2}-4AC.
Substituindo:
\Delta = (-72)^{2} - 4\cdot 52 \cdot 73 = 5184 - 15184 = -10000.

Passo 4

Como \Delta<0 e B^{2}-4AC\neq 0, a curva é uma elipse (não é circunferência porque A\neq C ou B\neq 0).

Resposta

A cônica é uma elipse.

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