Calcule a área da região limitada entre as curvas:
y=x^{2} \text { e } y=2 x

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x^2 e y = 2x. O conteúdo aqui é “área entre curvas” e, para resolver, precisamos:
  1. Determinar os pontos de interseção das curvas.
  2. Identificar qual função está acima da outra no intervalo entre esses pontos.
  3. Montar e calcular a integral definida da diferença entre a função superior e a inferior.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
x^2 = 2x
x^2 - 2x = 0
x(x - 2) = 0
Logo, os pontos de interseção são x=0 e x=2.

Passo 3

Em qualquer x entre 0 e 2, comparamos x^2 e 2x. Como
2x - x^2 = x(2 - x),
que é positivo para 0 < x < 2, temos 2x > x^2. Portanto a reta y=2x é a função superior e a parábola y=x^2 é a função inferior nesse intervalo. A área pedida é
\int_{0}^{2} \bigl(2x - x^2\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos a antiderivada de 2x - x^2:
\int \bigl(2x - x^2\bigr)\,dx = \int 2x\,dx - \int x^2\,dx = x^2 - \tfrac{x^3}{3} + C.

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a 2:
\Bigl[x^2 - \tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{2} = \Bigl(2^2 - \tfrac{2^3}{3}\Bigr) - \Bigl(0^2 - \tfrac{0^3}{3}\Bigr) = \Bigl(4 - \tfrac{8}{3}\Bigr) - 0 = \tfrac{12 - 8}{3} = \tfrac{4}{3}.

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é \displaystyle \frac{4}{3}.

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