Calcule a área limitada entre o gráfico da função f(x)=x^{2}-4 e o eixo x, no intervalo onde a função cruza o eixo.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelo gráfico de f(x)=x^{2}-4 e o eixo x, no intervalo em que a curva cruza o eixo. O conteúdo envolvido é o cálculo de integral definida para área entre curva e eixo e vamos precisar: (i) encontrar as raízes de f, (ii) verificar o sinal de f nesse intervalo e (iii) montar e calcular a integral de \lvert f(x)\rvert.

Passo 2

Para saber onde a curva cruza o eixo x, resolvemos
x^{2}-4 = 0
de modo que
x^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 2.
Logo a região fica entre x=-2 e x=2.

Passo 3

Em qualquer x com -2<x<2, tem-se x^{2}<4, logo f(x)=x^{2}-4<0. Isso significa que o gráfico está abaixo do eixo x e a área pedida é
\int_{-2}^{2} \bigl|f(x)\bigr|\,dx = -\int_{-2}^{2} \bigl(x^{2}-4\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos
-\int_{-2}^{2} (x^{2}-4)\,dx = -\Bigl[\int_{-2}^{2}x^{2}\,dx -\int_{-2}^{2}4\,dx\Bigr].
Como x^{2} é função par,
\int_{-2}^{2}x^{2}\,dx =2\int_{0}^{2}x^{2}\,dx =2\cdot\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{2} =2\cdot\frac{8}{3} =\frac{16}{3},
e
\int_{-2}^{2}4\,dx =4\,(2-(-2)) =16.
Portanto
-\Bigl(\tfrac{16}{3}-16\Bigr) =-\Bigl(\tfrac{16-48}{3}\Bigr) =-\Bigl(-\tfrac{32}{3}\Bigr) =\frac{32}{3}.

Resposta

A área limitada entre o gráfico de f(x)=x^{2}-4 e o eixo x no intervalo de cruzamento é \displaystyle \frac{32}{3}.

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